Номер 109, страница 49 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Угол между прямой и плоскостью. Вариант 2. Упражнения - номер 109, страница 49.

Условие.

Угол между прямой и плоскостью

109. Наклонная образует с плоскостью угол $60^\circ$. Найдите длину наклонной, если длина её проекции на эту плоскость равна 9 см.

Решение.

Решение 2.

Угол между наклонной и плоскостью по определению является углом между самой наклонной и её проекцией на эту плоскость. Наклонная, её проекция и перпендикуляр, опущенный из конца наклонной на плоскость, образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике наклонная является гипотенузой, а её проекция — катетом, прилежащим к заданному углу.

Пусть $L$ — искомая длина наклонной, $p$ — длина её проекции, а $\alpha$ — угол между ними.
Согласно условию задачи, мы имеем:
$p = 9$ см
$\alpha = 60^{\circ}$

В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Таким образом, мы можем записать соотношение:
$\cos(\alpha) = \frac{p}{L}$

Выразим из этой формулы длину наклонной $L$:
$L = \frac{p}{\cos(\alpha)}$

Подставим известные значения в формулу. Значение косинуса $60^{\circ}$ равно $\frac{1}{2}$.
$L = \frac{9}{\cos(60^{\circ})} = \frac{9}{\frac{1}{2}} = 9 \cdot 2 = 18$ см.

Ответ: 18 см.