Номер 107, страница 49 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

107. Точка $M$ находится на расстоянии $2\sqrt{21}$ см от плоскости треугольника $ABC$ и равноудалена от прямых, содержащих его стороны. Проекцией точки $P$ на плоскость $ABC$ является точка $O$, принадлежащая данному треугольнику. Найдите расстояние от точки $M$ до прямой $AB$, если $AB = 11$ см, $BC = 25$ см, $AC = 30$ см.

1. Анализ условия и построение

Пусть $M$ - данная точка, а $ABC$ - данный треугольник. Расстояние от точки $M$ до плоскости треугольника $ABC$ - это длина перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на эту плоскость. По условию, проекцией точки $M$ на плоскость $ABC$ является точка $O$, следовательно, $MO \perp (ABC)$ и длина $MO = 2\sqrt{21}$ см.

Точка $M$ равноудалена от прямых, содержащих стороны треугольника ($AB$, $BC$, $AC$). Расстояние от точки до прямой - это длина перпендикуляра. Опустим из точки $M$ перпендикуляры на стороны треугольника: $MK \perp AB$, $ML \perp BC$, $MN \perp AC$. По условию, $MK = ML = MN$.

Рассмотрим отрезки $OK$, $OL$, $ON$. По теореме о трех перпендикулярах: так как $MO$ - перпендикуляр к плоскости $ABC$, а $MK$ - наклонная, перпендикулярная прямой $AB$ в этой плоскости, то ее проекция $OK$ также перпендикулярна прямой $AB$. Аналогично, $OL \perp BC$ и $ON \perp AC$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MOK$, $\triangle MOL$ и $\triangle MON$ (прямые углы при вершине $O$). У них общий катет $MO$, а гипотенузы равны по условию ($MK = ML = MN$). Следовательно, эти треугольники равны по катету и гипотенузе. Из равенства треугольников следует равенство вторых катетов: $OK = OL = ON$.

Поскольку точка $O$ лежит внутри треугольника $ABC$ и равноудалена от его сторон, она является центром вписанной в треугольник окружности, а отрезки $OK$, $OL$, $ON$ - ее радиусами. Обозначим этот радиус как $r$. Таким образом, $OK = r$.

2. Нахождение радиуса вписанной окружности ($r$)

Радиус вписанной в треугольник окружности можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ - площадь треугольника, а $p$ - его полупериметр.

Найдем полупериметр треугольника $ABC$ со сторонами $a=BC=25$ см, $b=AC=30$ см, $c=AB=11$ см:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{25+30+11}{2} = \frac{66}{2} = 33$ см.

Площадь треугольника найдем по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$S = \sqrt{33(33-25)(33-30)(33-11)} = \sqrt{33 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 22}$
Разложим числа на простые множители для удобства извлечения корня:
$S = \sqrt{(3 \cdot 11) \cdot (2^3) \cdot 3 \cdot (2 \cdot 11)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 11^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 11 = 4 \cdot 33 = 132$ см².

Теперь найдем радиус вписанной окружности:
$r = \frac{S}{p} = \frac{132}{33} = 4$ см.
Следовательно, $OK = 4$ см.

3. Нахождение расстояния от точки M до прямой AB

Расстояние от точки $M$ до прямой $AB$ - это длина перпендикуляра $MK$. Мы можем найти его из прямоугольного треугольника $\triangle MOK$ по теореме Пифагора, где $MO$ и $OK$ - катеты, а $MK$ - гипотенуза.

$MK^2 = MO^2 + OK^2$
$MK^2 = (2\sqrt{21})^2 + 4^2 = 4 \cdot 21 + 16 = 84 + 16 = 100$
$MK = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.