Номер 100, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

100. Через вершину прямого угла $C$ треугольника $ABC$ к его плоскости проведён перпендикуляр $CK$. Расстояние от точки $K$ до прямой $AB$ равно 13 см. Найдите расстояние от точки $K$ до плоскости треугольника, если его катеты равны 15 см и 20 см.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катеты $AC = 15$ см и $BC = 20$ см.

Из вершины $C$ к плоскости треугольника $ABC$ проведен перпендикуляр $CK$. Расстояние от точки $K$ до плоскости треугольника - это и есть длина этого перпендикуляра $CK$.

Расстояние от точки $K$ до прямой $AB$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $K$ на прямую $AB$. Обозначим основание этого перпендикуляра как точку $M$ на прямой $AB$. Таким образом, $KM \perp AB$ и $KM = 13$ см.

Отрезок $CM$ является проекцией наклонной $KM$ на плоскость треугольника $ABC$. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($KM$) перпендикулярна прямой на плоскости ($AB$), то и ее проекция ($CM$) перпендикулярна этой же прямой. Следовательно, $CM \perp AB$.

Таким образом, $CM$ является высотой прямоугольного треугольника $ABC$, проведенной к гипотенузе $AB$.

1. Найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25$ см.

2. Найдем длину высоты $CM$. Длину высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, можно найти по формуле $h_c = \frac{a \cdot b}{c}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза:
$CM = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{15 \cdot 20}{25} = \frac{300}{25} = 12$ см.

3. Теперь рассмотрим треугольник $KCM$. Поскольку $CK$ перпендикулярен плоскости $ABC$, он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $C$. Значит, $CK \perp CM$. Следовательно, треугольник $KCM$ является прямоугольным с прямым углом $C$.

В прямоугольном треугольнике $KCM$ мы знаем гипотенузу $KM = 13$ см и катет $CM = 12$ см. Найдем второй катет $CK$ по теореме Пифагора:
$CK = \sqrt{KM^2 - CM^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ см.

Длина отрезка $CK$ и есть искомое расстояние от точки $K$ до плоскости треугольника.

Ответ: 5 см.