Номер 96, страница 47 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

96. Через гипотенузу $AB$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ проведена плоскость $\alpha$. Расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$ равно $3$ см. Найдите расстояние между прямой $AB$ и прямой, которая проходит через точку $C$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$, если $AC = 6$ см.

Пусть $ABC$ — данный равнобедренный прямоугольный треугольник, где $\angle C = 90^\circ$. Так как треугольник равнобедренный, его катеты равны: $AC = BC = 6$ см.

Плоскость $\alpha$ проходит через гипотенузу $AB$. Расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на плоскость $\alpha$. Обозначим этот перпендикуляр $CH$, где $H$ — основание перпендикуляра, лежащее в плоскости $\alpha$. По условию, $CH = 3$ см.

Прямая, которая проходит через точку $C$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$, — это прямая $CH$. Обозначим ее как $l$.

Таким образом, нам нужно найти расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $l$ (прямой $CH$). Это расстояние равно длине их общего перпендикуляра.

Проведем в плоскости треугольника $ABC$ высоту $CM$ к гипотенузе $AB$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $CM$ является также и медианой. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

Сначала найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем длину медианы (и высоты) $CM$:
$CM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ см.
Так как $CM$ — высота, то $CM \perp AB$.

Рассмотрим отрезки $CH$, $CM$ и $HM$.

• $CH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$ ($CH \perp \alpha$).
• $CM$ — наклонная к плоскости $\alpha$.
• $HM$ — проекция наклонной $CM$ на плоскость $\alpha$.

По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $CM$ перпендикулярна прямой $AB$, лежащей в плоскости $\alpha$ ($CM \perp AB$), то и ее проекция $HM$ перпендикулярна этой прямой ($HM \perp AB$).

Так как $CH \perp \alpha$, то прямая $CH$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$, в том числе и прямой $HM$. Следовательно, $CH \perp HM$.

Мы получили, что отрезок $HM$ перпендикулярен обеим скрещивающимся прямым $AB$ и $CH$ (прямой $l$). Значит, длина отрезка $HM$ и есть искомое расстояние.

Рассмотрим треугольник $CHM$. Он является прямоугольным, так как $\angle CHM = 90^\circ$. По теореме Пифагора:$CM^2 = CH^2 + HM^2$

Выразим $HM$:
$HM^2 = CM^2 - CH^2$
$HM^2 = (3\sqrt{2})^2 - 3^2 = 18 - 9 = 9$
$HM = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: 3 см.