Страница 47 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

91.Плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ параллельны. Точки $ M $ и $ N $ принадлежат плоскости $ \alpha $, точки $ K $ и $ P $ — плоскости $ \beta $, $ MK = 10 $ см, $ NP = 17 $ см. Найдите расстояние между плоскостями $ \alpha $ и $ \beta $, если сумма проекций отрезков $ MK $ и $ NP $ на плоскость $ \alpha $ равна 21 см.

Пусть $h$ — искомое расстояние между параллельными плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

Рассмотрим отрезок $MK$. Точка $M$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $K$ — в плоскости $\beta$. Проекцией точки $M$ на плоскость $\alpha$ является сама точка $M$. Пусть $K'$ — проекция точки $K$ на плоскость $\alpha$. Тогда отрезок $KK'$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, и его длина равна расстоянию между плоскостями, то есть $KK' = h$.

Проекцией отрезка $MK$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $MK'$. Треугольник $MKK'$ — прямоугольный с гипотенузой $MK$ и катетами $MK'$ и $KK'$. По теореме Пифагора:

$MK^2 = MK'^2 + KK'^2$

Подставим известные значения:

$10^2 = MK'^2 + h^2$

$100 = MK'^2 + h^2$

Отсюда длина проекции $MK'$ равна:

$MK' = \sqrt{100 - h^2}$

Аналогично рассмотрим отрезок $NP$. Точка $N$ лежит в плоскости $\alpha$, а точка $P$ — в плоскости $\beta$. Проекцией точки $N$ на плоскость $\alpha$ является сама точка $N$. Пусть $P'$ — проекция точки $P$ на плоскость $\alpha$. Тогда $PP' = h$.

Проекцией отрезка $NP$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $NP'$. Треугольник $NPP'$ — прямоугольный с гипотенузой $NP$. По теореме Пифагора:

$NP^2 = NP'^2 + PP'^2$

Подставим известные значения:

$17^2 = NP'^2 + h^2$

$289 = NP'^2 + h^2$

Отсюда длина проекции $NP'$ равна:

$NP' = \sqrt{289 - h^2}$

По условию задачи, сумма длин проекций отрезков $MK$ и $NP$ на плоскость $\alpha$ равна 21 см:

$MK' + NP' = 21$

Подставим полученные выражения для длин проекций в это уравнение:

$\sqrt{100 - h^2} + \sqrt{289 - h^2} = 21$

Решим это иррациональное уравнение. Перенесем один из корней в правую часть:

$\sqrt{289 - h^2} = 21 - \sqrt{100 - h^2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{289 - h^2})^2 = (21 - \sqrt{100 - h^2})^2$

$289 - h^2 = 21^2 - 2 \cdot 21 \cdot \sqrt{100 - h^2} + (\sqrt{100 - h^2})^2$

$289 - h^2 = 441 - 42\sqrt{100 - h^2} + 100 - h^2$

Приведем подобные слагаемые. Члены $-h^2$ в обеих частях уравнения взаимно уничтожаются:

$289 = 541 - 42\sqrt{100 - h^2}$

Выразим член с корнем:

$42\sqrt{100 - h^2} = 541 - 289$

$42\sqrt{100 - h^2} = 252$

Разделим обе части на 42:

$\sqrt{100 - h^2} = \frac{252}{42}$

$\sqrt{100 - h^2} = 6$

Снова возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$100 - h^2 = 36$

Найдем $h^2$:

$h^2 = 100 - 36$

$h^2 = 64$

Так как $h$ — это расстояние, оно не может быть отрицательным, поэтому:

$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

92. На рисунке 59 изображён куб с ребром $a$. Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CD$.

Рис. 59

Для решения задачи определим взаимное расположение прямых AB и CD в пространстве, исходя из изображения куба с ребром $a$. Точки A, B, C лежат в одной грани куба (будем считать ее нижней). AC и CB можно интерпретировать как смежные ребра этой грани, которые сходятся под прямым углом в вершине C. В этом случае прямая AB является диагональю этой квадратной грани. Точка D расположена над точкой C, таким образом, CD является ребром куба, перпендикулярным нижней грани.

Прямые AB и CD не лежат в одной плоскости и не параллельны, следовательно, они являются скрещивающимися. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Найдем этот общий перпендикуляр. Обозначим плоскость нижнего основания, в которой лежат точки A, B и C, как $\pi$. Поскольку ребро CD перпендикулярно нижней грани, прямая CD перпендикулярна плоскости $\pi$. Это означает, что прямая CD перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Рассмотрим перпендикуляр $CH$, опущенный из точки C на прямую AB в плоскости $\pi$. Так как отрезок $CH$ полностью лежит в плоскости $\pi$, он перпендикулярен прямой CD. По построению, $CH$ также перпендикулярен прямой AB. Следовательно, отрезок $CH$ является общим перпендикуляром к прямым AB и CD, а его длина — искомое расстояние.

Теперь задача сводится к вычислению длины высоты $CH$ в треугольнике ACB. Этот треугольник является прямоугольным (угол $\angle ACB = 90^\circ$) и равнобедренным, так как его катеты $AC$ и $CB$ равны ребру куба $a$. Гипотенуза $AB$ является диагональю грани. Найдем ее длину по теореме Пифагора:$AB = \sqrt{AC^2 + CB^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Длину высоты $CH$, проведенной к гипотенузе, можно найти, приравняв два выражения для площади треугольника ACB:
1. Через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CB = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2}a^2$
2. Через гипотенузу и высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot (a\sqrt{2}) \cdot CH$

Приравняем площади:$\frac{1}{2}a^2 = \frac{1}{2} a\sqrt{2} \cdot CH$$a^2 = a\sqrt{2} \cdot CH$$CH = \frac{a^2}{a\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:$CH = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Таким образом, расстояние между прямыми AB и CD равно длине отрезка $CH$.
Ответ: $ \frac{a\sqrt{2}}{2} $

93. Через вершину острого угла $A$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($ \angle B = 90^\circ $) проведена прямая $a$, перпендикулярная плоскости треугольника. Найдите расстояние между прямыми $BC$ и $a$, если $BC = 7$ см, $AC = 25$ см.

По определению, расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. В данной задаче нам нужно найти расстояние между прямыми BC и a.

Прямая a проходит через вершину A и перпендикулярна плоскости треугольника ABC. Это означает, что прямая a перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку A. В частности, прямая a перпендикулярна прямой AB, то есть $a \perp AB$.

В треугольнике ABC угол B прямой ($\angle B = 90^\circ$), следовательно, катет AB перпендикулярен катету BC, то есть $AB \perp BC$.

Мы получили, что отрезок AB перпендикулярен как прямой a, так и прямой BC. Следовательно, отрезок AB является общим перпендикуляром к скрещивающимся прямым a и BC. Длина этого отрезка и будет искомым расстоянием.

Найдем длину катета AB из прямоугольного треугольника ABC по теореме Пифагора: $AC^2 = AB^2 + BC^2$.

Выразим $AB^2$:

$AB^2 = AC^2 - BC^2$

Подставим известные значения $AC = 25$ см и $BC = 7$ см:

$AB^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$

$AB = \sqrt{576} = 24$ см.

Таким образом, расстояние между прямыми BC и a равно длине катета AB.

Ответ: 24 см.

94. Через вершину $A$ треугольника $ABC$ проведена прямая $m$, перпендикулярная плоскости треугольника. Найдите расстояние между прямыми $m$ и $BC$, если $AB = 13$ см, $BC = 14$ см, $AC = 15$ см.

Пусть плоскость треугольника $ABC$ будет плоскостью $\alpha$. По условию, прямая $m$ проходит через вершину $A$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($m \perp \alpha$). Прямая $BC$ лежит в плоскости $\alpha$. Так как прямая $m$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $A$, которая не лежит на прямой $BC$, то прямые $m$ и $BC$ являются скрещивающимися.

Расстояние между скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Найдем этот общий перпендикуляр.

Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $AH$ из вершины $A$ к стороне $BC$. По определению высоты, $AH \perp BC$.

Так как прямая $m$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая $AH$ лежит в плоскости $\alpha$, следовательно, $m \perp AH$.

Таким образом, отрезок $AH$ перпендикулярен и прямой $m$ (в точке $A$), и прямой $BC$ (в точке $H$). Следовательно, $AH$ является общим перпендикуляром к скрещивающимся прямым $m$ и $BC$.

Значит, искомое расстояние между прямыми $m$ и $BC$ равно длине высоты $AH$ треугольника $ABC$.

Найдем длину высоты $AH$. Нам даны длины всех сторон треугольника $ABC$: $AB = 13$ см, $BC = 14$ см, $AC = 15$ см.Площадь треугольника можно найти по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Найдем полупериметр $p$:
$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

2. Вычислим площадь треугольника $S_{ABC}$:
$S_{ABC} = \sqrt{21(21-14)(21-15)(21-13)} = \sqrt{21 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 8}$
$S_{ABC} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3) \cdot (2^3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$ см².

3. Площадь треугольника также можно выразить через высоту и основание: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$.
Отсюда найдем высоту $AH$:
$AH = \frac{2 \cdot S_{ABC}}{BC} = \frac{2 \cdot 84}{14} = \frac{168}{14} = 12$ см.

Таким образом, расстояние между прямыми $m$ и $BC$ равно 12 см.

Ответ: 12 см.

95. Через середину хорды $AB$ окружности радиусом 5 см проведена прямая $n$, перпендикулярная плоскости окружности. Найдите расстояние между прямой $n$ и диаметром $BC$, если $AC = 8$ см.

Пусть $\alpha$ - плоскость окружности. По условию, прямая $n$ проходит через точку $M$ (середину хорды $AB$) и перпендикулярна плоскости $\alpha$. Диаметр $BC$ лежит в этой же плоскости $\alpha$.

Прямые $n$ и $BC$ являются скрещивающимися. Поскольку прямая $n$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, в которой лежит прямая $BC$, расстояние между этими прямыми равно длине перпендикуляра, опущенного из точки пересечения прямой $n$ и плоскости $\alpha$ на прямую $BC$. Точкой пересечения является $M$. Следовательно, искомое расстояние - это длина перпендикуляра $MH$, проведенного из точки $M$ к прямой $BC$.

Все дальнейшие вычисления проведем в плоскости $\alpha$.

Точки $A, B, C$ лежат на окружности. Так как $BC$ - диаметр, вписанный угол $\angle BAC$, опирающийся на этот диаметр, является прямым ($90^\circ$). Таким образом, $\triangle ABC$ - прямоугольный с гипотенузой $BC$.

Радиус окружности $R=5$ см, следовательно, диаметр $BC = 2R = 10$ см.

По теореме Пифагора для $\triangle ABC$: $AB^2 + AC^2 = BC^2$. Подставим известные значения $AC = 8$ см и $BC = 10$ см: $AB^2 + 8^2 = 10^2$ $AB^2 + 64 = 100$ $AB^2 = 36$ $AB = \sqrt{36} = 6$ см.

Точка $M$ является серединой хорды $AB$, поэтому $BM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

Для нахождения длины $MH$ проведем высоту $AK$ из вершины $A$ на гипотенузу $BC$. Так как $MH \perp BC$ и $AK \perp BC$, то прямые $MH$ и $AK$ параллельны ($MH \parallel AK$).

Рассмотрим $\triangle ABK$. Из подобия треугольников $\triangle BMH$ и $\triangle BAK$ (по общему углу $\angle B$ и прямым углам $\angle BHM$ и $\angle BKA$) следует: $\frac{MH}{AK} = \frac{BM}{BA}$ $\frac{MH}{AK} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ Отсюда $MH = \frac{1}{2} AK$.

Длину высоты $AK$ найдем через площадь $\triangle ABC$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, а также половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см². $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AK = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot AK = 5 \cdot AK$. Приравнивая два выражения для площади, получаем: $5 \cdot AK = 24 \implies AK = \frac{24}{5} = 4,8$ см.

Теперь можем найти искомое расстояние $MH$: $MH = \frac{1}{2} \cdot AK = \frac{1}{2} \cdot 4,8 = 2,4$ см.

Ответ: 2,4 см.

96. Через гипотенузу $AB$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ проведена плоскость $\alpha$. Расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$ равно $3$ см. Найдите расстояние между прямой $AB$ и прямой, которая проходит через точку $C$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$, если $AC = 6$ см.

Пусть $ABC$ — данный равнобедренный прямоугольный треугольник, где $\angle C = 90^\circ$. Так как треугольник равнобедренный, его катеты равны: $AC = BC = 6$ см.

Плоскость $\alpha$ проходит через гипотенузу $AB$. Расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на плоскость $\alpha$. Обозначим этот перпендикуляр $CH$, где $H$ — основание перпендикуляра, лежащее в плоскости $\alpha$. По условию, $CH = 3$ см.

Прямая, которая проходит через точку $C$ и перпендикулярна плоскости $\alpha$, — это прямая $CH$. Обозначим ее как $l$.

Таким образом, нам нужно найти расстояние между скрещивающимися прямыми $AB$ и $l$ (прямой $CH$). Это расстояние равно длине их общего перпендикуляра.

Проведем в плоскости треугольника $ABC$ высоту $CM$ к гипотенузе $AB$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $CM$ является также и медианой. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

Сначала найдем длину гипотенузы $AB$ по теореме Пифагора:
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем длину медианы (и высоты) $CM$:
$CM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ см.
Так как $CM$ — высота, то $CM \perp AB$.

Рассмотрим отрезки $CH$, $CM$ и $HM$.

• $CH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$ ($CH \perp \alpha$).
• $CM$ — наклонная к плоскости $\alpha$.
• $HM$ — проекция наклонной $CM$ на плоскость $\alpha$.

По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $CM$ перпендикулярна прямой $AB$, лежащей в плоскости $\alpha$ ($CM \perp AB$), то и ее проекция $HM$ перпендикулярна этой прямой ($HM \perp AB$).

Так как $CH \perp \alpha$, то прямая $CH$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $\alpha$, в том числе и прямой $HM$. Следовательно, $CH \perp HM$.

Мы получили, что отрезок $HM$ перпендикулярен обеим скрещивающимся прямым $AB$ и $CH$ (прямой $l$). Значит, длина отрезка $HM$ и есть искомое расстояние.

Рассмотрим треугольник $CHM$. Он является прямоугольным, так как $\angle CHM = 90^\circ$. По теореме Пифагора:$CM^2 = CH^2 + HM^2$

Выразим $HM$:
$HM^2 = CM^2 - CH^2$
$HM^2 = (3\sqrt{2})^2 - 3^2 = 18 - 9 = 9$
$HM = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: 3 см.

97. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 10 см, точка $M$ — середина ребра $CD$. Найдите расстояние между прямыми $AM$ и $CC_1$.

Прямые $AM$ и $CC_1$ являются скрещивающимися, так как прямая $AM$ лежит в плоскости основания куба $(ABCD)$, а прямая $CC_1$ пересекает эту плоскость в точке $C$, которая не лежит на прямой $AM$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми можно использовать метод ортогонального проецирования на плоскость, перпендикулярную одной из прямых.

Ребро куба $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABCD)$. Выберем эту плоскость в качестве плоскости проекции.

Ортогональной проекцией прямой $CC_1$ на плоскость $(ABCD)$ является точка $C$.

Прямая $AM$ полностью лежит в плоскости $(ABCD)$, поэтому ее ортогональной проекцией на эту плоскость является сама прямая $AM$.

Расстояние между скрещивающимися прямыми $AM$ и $CC_1$ равно расстоянию между их проекциями на плоскость $(ABCD)$, то есть расстоянию от точки $C$ до прямой $AM$.

Таким образом, задача сводится к планиметрической задаче: в квадрате $ABCD$ найти расстояние от вершины $C$ до прямой $AM$. Обозначим это расстояние как $h$.

По условию, сторона квадрата $a = 10$ см. Точка $M$ — середина стороны $CD$, следовательно, $CM = MD = a/2 = 10/2 = 5$ см.

Рассмотрим треугольник $ACM$. Расстояние от точки $C$ до прямой $AM$ — это длина высоты, опущенной из вершины $C$ на сторону $AM$. Найдем эту высоту через площадь треугольника.

Сначала найдем площадь треугольника $ACM$. За основание примем сторону $CM$. Высота, проведенная к этому основанию (или к прямой $CD$, на которой оно лежит) из вершины $A$, равна по длине стороне квадрата $AD$.$S_{\triangle ACM} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot CM \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10 = 25$ см$^2$.

Теперь найдем длину стороны $AM$, чтобы использовать ее как основание. В прямоугольном треугольнике $ADM$ (угол $D$ прямой) по теореме Пифагора:$AM^2 = AD^2 + DM^2 = 10^2 + 5^2 = 100 + 25 = 125$.$AM = \sqrt{125} = \sqrt{25 \cdot 5} = 5\sqrt{5}$ см.

Площадь треугольника $ACM$ также можно выразить через основание $AM$ и искомую высоту $h$:$S_{\triangle ACM} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot h$.

Подставим известные значения:$25 = \frac{1}{2} \cdot 5\sqrt{5} \cdot h$.

Выразим $h$:$h = \frac{2 \cdot 25}{5\sqrt{5}} = \frac{50}{5\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:$h = \frac{10 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$ см.

Следовательно, искомое расстояние между прямыми $AM$ и $CC_1$ равно $2\sqrt{5}$ см.

Ответ: $2\sqrt{5}$ см.