Страница 44 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

69. Прямая $AO$ перпендикулярна плоскости окружности с центром $O$. Точка $B$ лежит на окружности. Найдите радиус окружности, если $AB = 12 \text{ см}$, $\angle ABO = 30^\circ$.

По условию задачи прямая AO перпендикулярна плоскости окружности с центром в точке O. Точка B лежит на этой окружности. Следовательно, отрезок OB является радиусом искомой окружности и лежит в плоскости этой окружности.

Согласно определению прямой, перпендикулярной плоскости, прямая AO перпендикулярна любой прямой, которая лежит в этой плоскости и проходит через точку O. Так как отрезок OB удовлетворяет этим условиям, то $AO \perp OB$. Это означает, что треугольник AOB является прямоугольным, в котором угол $∠AOB = 90°$.

В прямоугольном треугольнике AOB нам известны:

1. Длина гипотенузы $AB = 12$ см (сторона, лежащая напротив прямого угла).

2. Величина острого угла $∠ABO = 30°$.

Требуется найти длину катета OB, который является радиусом окружности. В треугольнике AOB катет OB является прилежащим к углу $∠ABO$.

Для нахождения прилежащего катета при известной гипотенузе и остром угле можно использовать тригонометрическую функцию косинус:

$cos(∠ABO) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OB}{AB}$

Выразим из этой формулы искомый катет OB:

$OB = AB \cdot cos(∠ABO)$

Подставим известные значения в формулу:

$OB = 12 \cdot cos(30°)$

Значение косинуса 30 градусов является табличной величиной: $cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Вычислим длину OB:

$OB = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

Ответ: $6\sqrt{3}$ см.

70. Через точку $O$ пересечения диагоналей квадрата $ABCD$ проведена прямая $SO$, перпендикулярная его плоскости, и точка $S$ соединена с серединой $E$ стороны $DC$ (рис. 54). Найдите отрезок $SC$, если $AB = 8$ см, $\angle SEO = 60^{\circ}$.

Рис. 54

Поскольку ABCD — это квадрат со стороной $AB = 8$ см, все его стороны равны 8 см. Таким образом, $DC = AD = 8$ см.
Точка E является серединой стороны DC. Следовательно, длина отрезка EC равна половине длины стороны DC:
$EC = \frac{DC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.
Точка O является центром квадрата (точкой пересечения диагоналей). Отрезок OE соединяет центр квадрата с серединой стороны DC. Длина этого отрезка равна половине стороны AD, параллельной ему. Кроме того, этот отрезок перпендикулярен стороне DC.
$OE = \frac{AD}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см, и $OE \perp DC$.
По условию, прямая SO перпендикулярна плоскости квадрата (ABCD). OE — это проекция наклонной SE на плоскость (ABCD). Так как проекция OE перпендикулярна прямой DC, лежащей в плоскости, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная SE перпендикулярна прямой DC. Следовательно, треугольник $\triangle SEC$ является прямоугольным с прямым углом $\angle SEC = 90^\circ$.
Для нахождения SC нам нужно найти длину катета SE. Рассмотрим треугольник $\triangle SOE$. Так как $SO \perp (ABCD)$, а отрезок OE лежит в этой плоскости, то $SO \perp OE$. Значит, треугольник $\triangle SOE$ является прямоугольным с прямым углом $\angle SOE = 90^\circ$.
В прямоугольном треугольнике $\triangle SOE$ нам известен катет $OE = 4$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle SEO = 60^\circ$. Найдем гипотенузу SE из определения косинуса:
$cos(\angle SEO) = \frac{OE}{SE}$
Отсюда $SE = \frac{OE}{cos(60^\circ)} = \frac{4}{1/2} = 8$ см.
Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle SEC$. Мы знаем длины его катетов: $SE = 8$ см и $EC = 4$ см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу SC:
$SC^2 = SE^2 + EC^2$
$SC^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80$
$SC = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см.
Ответ: $4\sqrt{5}$ см.

71. Прямая SA перпендикулярна плоскости прямоугольника $ABCD$, $AD = 6 \text{ см}$, $CD = 8 \text{ см}$, $\angle SCA = 30^\circ$. Найдите отрезок $SA$.

Поскольку по условию задачи прямая $SA$ перпендикулярна плоскости прямоугольника $ABCD$, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. В частности, прямая $SA$ перпендикулярна диагонали $AC$ прямоугольника. Это означает, что треугольник $SAC$ является прямоугольным, где $\angle SAC = 90^\circ$.

Для нахождения длины отрезка $SA$, который является катетом в треугольнике $SAC$, нам необходимо найти длину другого катета — $AC$.

Отрезок $AC$ — это диагональ прямоугольника $ABCD$. Мы можем найти ее длину из прямоугольного треугольника $ADC$ (поскольку $\angle D = 90^\circ$ в прямоугольнике). По теореме Пифагора:

$AC^2 = AD^2 + CD^2$

Подставим известные значения сторон: $AD = 6$ см и $CD = 8$ см.

$AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$AC = \sqrt{100} = 10$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SAC$. Мы знаем длину катета $AC = 10$ см и величину угла $\angle SCA = 30^\circ$. Катет $SA$ лежит напротив этого угла. Соотношение между катетами и острым углом в прямоугольном треугольнике выражается через тангенс:

$\tan(\angle SCA) = \frac{SA}{AC}$

Выразим из этой формулы искомую длину $SA$:

$SA = AC \cdot \tan(\angle SCA)$

Подставим известные значения:

$SA = 10 \cdot \tan(30^\circ) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{10\sqrt{3}}{3}$ см.

72. Через точку $M$, лежащую вне плоскости треугольника $ABC$, проведена прямая $MA$, перпендикулярная прямым $AB$ и $AC$. Докажите, что прямая $MA$ перпендикулярна медиане $AN$ треугольника $ABC$.

По условию задачи, точка $M$ лежит вне плоскости треугольника $ABC$. Через точку $M$ проведена прямая $MA$, которая перпендикулярна прямым $AB$ и $AC$. Это означает, что $MA \perp AB$ и $MA \perp AC$.

Рассмотрим плоскость, в которой лежит треугольник $ABC$. Обозначим эту плоскость как $\alpha$. Так как $A$, $B$ и $C$ являются вершинами треугольника, они лежат в плоскости $\alpha$. Прямые $AB$ и $AC$ являются сторонами этого треугольника, следовательно, они также лежат в плоскости $\alpha$. Прямые $AB$ и $AC$ пересекаются в точке $A$.

Воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

В нашем случае прямая $MA$ перпендикулярна двум пересекающимся в точке $A$ прямым $AB$ и $AC$, которые лежат в плоскости $\alpha$. Из этого следует, что прямая $MA$ перпендикулярна всей плоскости $\alpha$, то есть $MA \perp \alpha$.

Теперь рассмотрим медиану $AN$. Медиана $AN$ соединяет вершину $A$ с точкой $N$, которая является серединой стороны $BC$. Поскольку точки $A$, $B$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$, то и вся сторона $BC$, а значит и ее середина $N$, лежит в плоскости $\alpha$. Таким образом, вся прямая $AN$ лежит в плоскости $\alpha$.

По определению прямой, перпендикулярной плоскости: если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Так как мы установили, что прямая $MA$ перпендикулярна плоскости $\alpha$, а прямая $AN$ лежит в этой плоскости, то прямая $MA$ перпендикулярна прямой $AN$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямая $MA$ перпендикулярна медиане $AN$ треугольника $ABC$.

73. На рисунке 55 изображён прямоугольник $ABCD$, $FA \perp AD$. Укажите прямую и плоскость, которые являются перпендикулярными.

Рис. 55

Для того чтобы определить, какая прямая перпендикулярна какой плоскости, воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Этот признак гласит: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.

Рассмотрим данные из условия задачи:

1. $ABCD$ — прямоугольник. Из этого следует, что его смежные стороны перпендикулярны. В частности, сторона $AB$ перпендикулярна стороне $AD$, то есть $AB \perp AD$.
2. По условию также дано, что $FA \perp AD$.

Теперь у нас есть прямая $AD$, которая перпендикулярна двум другим прямым: $AB$ и $FA$.

Прямые $AB$ и $FA$ пересекаются в точке $A$. Через две пересекающиеся прямые можно провести единственную плоскость. Обозначим эту плоскость как $(FAB)$.

Итак, мы имеем:

• Прямая $AD$ перпендикулярна прямой $AB$, лежащей в плоскости $(FAB)$.
• Прямая $AD$ перпендикулярна прямой $FA$, лежащей в плоскости $(FAB)$.
• Прямые $AB$ и $FA$ пересекаются.

Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB$ и $FA$ в плоскости $(FAB)$, то прямая $AD$ перпендикулярна всей плоскости $(FAB)$.

Таким образом, мы нашли искомую прямую и плоскость, которые являются перпендикулярными.

Ответ: Прямая $AD$ и плоскость $(FAB)$.

74. На рисунке 56 изображён куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Докажите, что четырёхугольник $AB_1 C_1 D$ — прямоугольник.

Рис. 56

Для того чтобы доказать, что четырехугольник $AB_1C_1D$ является прямоугольником, необходимо сначала доказать, что он является параллелограммом, а затем — что один из его внутренних углов равен $90^\circ$.

1. Доказательство того, что $AB_1C_1D$ — параллелограмм.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все грани являются квадратами, а противоположные грани параллельны. Рассмотрим ребра $AB$ и $DC$. Так как грань $ABCD$ является квадратом, то сторона $AB$ параллельна стороне $DC$ и равна ей по длине. Это можно выразить через равенство векторов: $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Аналогично, боковые ребра куба параллельны и равны. В частности, $BB_1 \parallel CC_1$ и $BB_1 = CC_1$, что означает $\vec{BB_1} = \vec{CC_1}$.

Теперь рассмотрим противоположные стороны четырехугольника $AB_1C_1D$ — стороны $AB_1$ и $DC_1$. Выразим соответствующие им векторы через рёбра куба:

$\vec{AB_1} = \vec{AB} + \vec{BB_1}$

$\vec{DC_1} = \vec{DC} + \vec{CC_1}$

Поскольку $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{BB_1} = \vec{CC_1}$, то из этого следует, что $\vec{AB_1} = \vec{DC_1}$.

Равенство векторов $\vec{AB_1}$ и $\vec{DC_1}$ означает, что отрезки $AB_1$ и $DC_1$ параллельны и равны по длине. По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, $AB_1C_1D$ — параллелограмм.

2. Доказательство того, что у параллелограмма $AB_1C_1D$ есть прямой угол.

Рассмотрим угол $\angle DAB_1$ (или $\angle C_1DA$). Докажем, что он прямой.

Ребро $AD$ перпендикулярно грани $ABB_1A_1$. Это следует из того, что ребро $AD$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым, лежащим в этой грани:

• $AD \perp AB$, так как грань $ABCD$ — квадрат.
• $AD \perp AA_1$, так как грань $ADD_1A_1$ — квадрат.

По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $(ABB_1A_1)$.

Отрезок $AB_1$ является диагональю грани $ABB_1A_1$ и, следовательно, полностью лежит в этой плоскости.

Отсюда следует, что ребро $AD$ перпендикулярно диагонали $AB_1$. Таким образом, угол между ними составляет $90^\circ$, то есть $\angle DAB_1 = 90^\circ$.

Заключение.

Мы установили, что четырехугольник $AB_1C_1D$ является параллелограммом, и один из его углов, $\angle DAB_1$, является прямым. Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, по определению является прямоугольником.

Следовательно, четырехугольник $AB_1C_1D$ — прямоугольник. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник $AB_1C_1D$ является прямоугольником, поскольку он является параллелограммом (его противоположные стороны $AB_1$ и $DC_1$ равны и параллельны) и у него есть прямой угол (например, $\angle DAB_1 = 90^\circ$, так как ребро $AD$ перпендикулярно плоскости грани $ABB_1A_1$, которой принадлежит сторона $AB_1$).

75. Точка $D$ лежит вне плоскости равнобедренного треугольника $ABC$ и равноудалена от точек $B$ и $C$, точка $M$ — середина основания $BC$. Докажите, что прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $ADM$.

Для доказательства того, что прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $ADM$, воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Согласно этому признаку, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Докажем, что прямая $BC$ перпендикулярна прямым $AM$ и $DM$, которые пересекаются в точке $M$ и лежат в плоскости $ADM$.

1. Перпендикулярность $BC$ и $AM$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи, он является равнобедренным с основанием $BC$. Это означает, что его боковые стороны равны: $AB = AC$.
Точка $M$ является серединой основания $BC$. Следовательно, отрезок $AM$ — это медиана, проведенная к основанию.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой.
Так как $AM$ является высотой, то она перпендикулярна основанию $BC$, то есть $AM \perp BC$.

2. Перпендикулярность $BC$ и $DM$.

Рассмотрим треугольник $DBC$. По условию, точка $D$ равноудалена от точек $B$ и $C$, что означает равенство отрезков $DB = DC$.
Следовательно, треугольник $DBC$ также является равнобедренным с основанием $BC$.
Точка $M$ — середина основания $BC$, значит, отрезок $DM$ является медианой, проведенной к основанию.
По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является и высотой.
Таким образом, $DM \perp BC$.

3. Вывод.

Итак, мы установили, что:
1) Прямая $BC$ перпендикулярна прямой $AM$ ($BC \perp AM$).
2) Прямая $BC$ перпендикулярна прямой $DM$ ($BC \perp DM$).
Прямые $AM$ и $DM$ лежат в плоскости $ADM$ и пересекаются в точке $M$.
Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $ADM$.

Ответ: Что и требовалось доказать.