Страница 51 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

120. Плоскость $\gamma$ пересекает грани двугранного угла по параллельным прямым $a$ и $b$, удалённым от ребра двугранного угла на 13 см и 20 см. Найдите расстояние от ребра двугранного угла до плоскости $\gamma$, если расстояние между прямыми $a$ и $b$ равно 21 см.

Пусть $l$ — ребро двугранного угла, а его грани — $\alpha_1$ и $\alpha_2$. Плоскость $\gamma$ пересекает грань $\alpha_1$ по прямой $a$, а грань $\alpha_2$ по прямой $b$. По условию, прямые $a$ и $b$ параллельны. Поскольку $a \subset \alpha_1$, $b \subset \alpha_2$ и $a \parallel b$, то ребро $l$ двугранного угла параллельно плоскости $\gamma$.

Рассмотрим плоскость $\Pi$, перпендикулярную ребру $l$. Пусть она пересекает $l$ в точке $O$. Так как $a \parallel l$ и $b \parallel l$, то плоскость $\Pi$ перпендикулярна прямым $a$ и $b$. Пусть $\Pi$ пересекает прямые $a$ и $b$ в точках $A$ и $B$ соответственно.

В этой плоскости $\Pi$ мы получаем треугольник $OAB$. Длины его сторон определяются из условий задачи:

• Расстояние от прямой $a$ до ребра $l$ — это длина отрезка $OA$. По условию, $OA = 13$ см.
• Расстояние от прямой $b$ до ребра $l$ — это длина отрезка $OB$. По условию, $OB = 20$ см.
• Расстояние между параллельными прямыми $a$ и $b$ — это длина отрезка $AB$. По условию, $AB = 21$ см.

Искомое расстояние от ребра $l$ до плоскости $\gamma$ равно расстоянию от точки $O$ до прямой $AB$ в плоскости $\Pi$. Это высота $h$, проведенная из вершины $O$ к стороне $AB$ в треугольнике $OAB$.

Для нахождения высоты $h$ сначала вычислим площадь треугольника $OAB$ по формуле Герона. Найдем полупериметр $s$:

$s = \frac{OA + OB + AB}{2} = \frac{13 + 20 + 21}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.

Теперь вычислим площадь $S$ треугольника $OAB$:

$S = \sqrt{s(s-OA)(s-OB)(s-AB)} = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)}$

$S = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{9 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 9 \cdot 4 \cdot 49}$

$S = 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 = 126$ см$^2$.

Площадь треугольника также можно выразить через основание и высоту:

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h$

Подставим известные значения и найдем высоту $h$:

$126 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot h$

$h = \frac{126 \cdot 2}{21} = \frac{252}{21} = 12$ см.

Таким образом, расстояние от ребра двугранного угла до плоскости $\gamma$ составляет 12 см.

Ответ: 12 см.

121. Из точек $A$ и $B$, лежащих в разных гранях двугранного угла, величина которого равна $30^\circ$, проведены к его ребру перпендикуляры $AC$ и $BD$. Найдите отрезок $CD$, если $AC = \sqrt{3}$ см, $BD = 2$ см, $AB = \sqrt{17}$ см.

Для решения задачи воспользуемся методом пространственной геометрии и теоремой Пифагора в пространстве, которую можно применить, рассмотрев проекцию одного из отрезков.

Пусть $l$ — ребро двугранного угла. По условию, у нас есть точки $A$ и $B$ в разных гранях. Проведены перпендикуляры $AC$ и $BD$ к ребру $l$, где $C$ и $D$ — точки на ребре $l$. Нам даны длины этих перпендикуляров и расстояние между точками $A$ и $B$:

• Величина двугранного угла $\alpha = 30^\circ$.
• $AC = \sqrt{3}$ см.
• $BD = 2$ см.
• $AB = \sqrt{17}$ см.

Требуется найти длину отрезка $CD$.

Выполним дополнительное построение. Через точку $A$ проведем прямую, параллельную ребру $l$. На этой прямой отложим отрезок $AE$ такой, что его длина равна длине отрезка $CD$, и вектор $\vec{AE}$ сонаправлен с вектором $\vec{CD}$. Таким образом, мы получаем четырехугольник $ACDE$, который является прямоугольником, так как $AC \perp CD$ и $AE \parallel CD$, $AC \parallel ED$. Следовательно, $AE = CD$ и $ED = AC = \sqrt{3}$. Также $ED \perp l$.

Теперь рассмотрим точки $B$, $D$ и $E$. Точки $D$ и $E$ лежат на одной прямой, перпендикулярной ребру $l$ (в плоскости, содержащей точку $A$). Точка $B$ лежит в другой грани, и отрезок $BD$ также перпендикулярен ребру $l$. Угол между отрезками $ED$ и $BD$, выходящими из одной точки $D$ на ребре и лежащими в разных гранях, равен линейному углу двугранного угла, то есть $\angle EDB = 30^\circ$.

Мы получили треугольник $EDB$. В нем известны две стороны и угол между ними:

• $ED = AC = \sqrt{3}$ см.
• $BD = 2$ см.
• $\angle EDB = 30^\circ$.

Найдем длину стороны $EB$ по теореме косинусов:

$EB^2 = ED^2 + BD^2 - 2 \cdot ED \cdot BD \cdot \cos(\angle EDB)$

$EB^2 = (\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \cos(30^\circ)$

Поскольку $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$EB^2 = 3 + 4 - 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7 - 2 \cdot 3 = 7 - 6 = 1$

Следовательно, $EB = \sqrt{1} = 1$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $AEB$. По построению, $AE \parallel l$ и $EB$ лежит в плоскости, перпендикулярной ребру $l$ (плоскости треугольника $EDB$). Значит, $AE \perp EB$. Таким образом, треугольник $AEB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $E$.

Применим к треугольнику $AEB$ теорему Пифагора:

$AB^2 = AE^2 + EB^2$

Мы знаем $AB = \sqrt{17}$ и $EB = 1$. Длина $AE$ равна искомой длине $CD$. Подставим известные значения в уравнение:

$(\sqrt{17})^2 = CD^2 + 1^2$

$17 = CD^2 + 1$

$CD^2 = 17 - 1 = 16$

$CD = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

122. На рисунке 63 изображён куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $AB_1 C_1$.

Рис. 63

Угол между двумя пересекающимися плоскостями — это угол между двумя перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения в одной точке, причем один перпендикуляр лежит в одной плоскости, а другой — в другой. Этот угол также называют линейным углом двугранного угла.

1. Найдём линию пересечения плоскостей.
Плоскость $ABC$ — это плоскость нижнего основания куба, то есть плоскость $(ABCD)$.
Прямая $B_1C_1$ лежит в плоскости $(AB_1C_1)$. В кубе ребро $B_1C_1$ параллельно ребру $BC$, которое лежит в плоскости $(ABC)$. Следовательно, прямая $B_1C_1$ параллельна плоскости $(ABC)$.
По свойству, если плоскость $(AB_1C_1)$ проходит через прямую $B_1C_1$, параллельную другой плоскости $(ABC)$, и пересекает эту плоскость, то линия их пересечения параллельна прямой $B_1C_1$.
Точка $A$ принадлежит обеим плоскостям, значит, она лежит на линии их пересечения. Таким образом, линия пересечения проходит через точку $A$ и параллельна $B_1C_1$. В основании куба такой прямой является ребро $AD$.
Итак, линия пересечения плоскостей $(ABC)$ и $(AB_1C_1)$ — это прямая $AD$.

2. Построим линейный угол.
Для нахождения угла между плоскостями нам нужно найти угол между двумя лучами, выходящими из одной точки на линии пересечения $AD$, перпендикулярными ей и лежащими в разных плоскостях. Возьмём точку $A$.

• В плоскости основания $(ABC)$ ребро $AB$ перпендикулярно ребру $AD$ (так как $ABCD$ — квадрат). Таким образом, $AB \perp AD$.
• Прямая $AD$ перпендикулярна всей плоскости грани $(ABB_1A_1)$, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости ($AB$ и $AA_1$). Следовательно, $AD$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $A$. Прямая $AB_1$ лежит в плоскости $(ABB_1A_1)$ и проходит через точку $A$, значит, $AB_1 \perp AD$.

Таким образом, искомый угол между плоскостями равен углу между прямыми $AB$ и $AB_1$, то есть $\angle B_1AB$.

3. Вычислим величину угла.
Рассмотрим треугольник $\triangle ABB_1$. Он является прямоугольным, так как ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$ и, следовательно, перпендикулярно прямой $AB$, лежащей в этой плоскости ($\angle ABB_1 = 90^\circ$).
Катеты этого треугольника, $AB$ и $BB_1$, являются рёбрами куба, поэтому они равны: $AB = BB_1$.
Следовательно, $\triangle ABB_1$ — равнобедренный прямоугольный треугольник. Его острые углы равны $45^\circ$.
Значит, $\angle B_1AB = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$

123. Через сторону $AB$ треугольника $ABC$ проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол $45^\circ$. Найдите расстояние от вершины $C$ до этой плоскости, если $AB = 14$ см, $BC = 13$ см, $AC = 15$ см.

Пусть $\alpha$ — это плоскость, проведенная через сторону $AB$ треугольника $ABC$, а плоскость самого треугольника обозначим как $\beta$. Угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ по условию равен $45^\circ$. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $AB$.

Искомое расстояние от вершины $C$ до плоскости $\alpha$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на плоскость $\alpha$. Обозначим этот перпендикуляр как $CK$, где точка $K$ лежит в плоскости $\alpha$.

Для решения задачи воспользуемся определением угла между плоскостями. Угол между двумя плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведенными к их линии пересечения. Проведем в плоскости треугольника $ABC$ высоту $CH$ к стороне $AB$. Таким образом, $CH \perp AB$.

Рассмотрим треугольник $CKH$. Так как $CK$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то $CK$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $HK$. Следовательно, треугольник $CKH$ — прямоугольный ($\angle CKH = 90^\circ$). По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $CH$ перпендикулярна $AB$, то и ее проекция $HK$ на плоскость $\alpha$ также перпендикулярна $AB$. Таким образом, угол $\angle CHK$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $\alpha$ и $\beta$. По условию, $\angle CHK = 45^\circ$.

Из прямоугольного треугольника $CKH$ мы можем выразить искомое расстояние $CK$:
$CK = CH \cdot \sin(\angle CHK) = CH \cdot \sin(45^\circ)$

Таким образом, задача сводится к нахождению длины высоты $CH$ треугольника $ABC$. Для этого сначала найдем площадь треугольника $ABC$ по формуле Герона, так как известны все три его стороны: $a = BC = 13$ см, $b = AC = 15$ см, $c = AB = 14$ см.

1. Вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13 + 15 + 14}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

2. Вычислим площадь $S$ треугольника $ABC$:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-15)(21-14)}$
$S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 7} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$ см$^2$.

3. Найдем высоту $CH$, проведенную к стороне $AB$:
Площадь треугольника также равна $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$. Отсюда:
$CH = \frac{2S}{AB} = \frac{2 \cdot 84}{14} = \frac{168}{14} = 12$ см.

4. Найдем искомое расстояние $CK$:
Теперь, зная $CH$, мы можем найти расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$:
$CK = CH \cdot \sin(45^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2}$ см.

124. Равнобедренные треугольники $ABC$ и $ADC$ имеют общее основание $AC$. Угол между их плоскостями равен $60^\circ$, $AC = 12$ см, $\angle ABC = 60^\circ$, $\angle ADC = 120^\circ$. Найдите отрезок $BD$.

Рассмотрим треугольник ABC. По условию, он равнобедренный с основанием AC и $\angle ABC = 60^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, а углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$. Так как все углы треугольника равны $60^\circ$, он является равносторонним. Следовательно, $AB = BC = AC = 12$ см.

Рассмотрим треугольник ADC. Он также является равнобедренным с основанием AC, а угол при вершине $\angle ADC = 120^\circ$. Углы при основании равны: $\angle DAC = \angle DCA = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.

Проведем высоты BH и DH из вершин B и D к общему основанию AC. Так как оба треугольника равнобедренные, эти высоты также являются медианами и пересекают AC в одной и той же точке H, которая является серединой AC. Таким образом, $AH = HC = AC / 2 = 12 / 2 = 6$ см.

Угол между плоскостями (ABC) и (ADC) определяется как угол между перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения (AC) в одной точке. В нашем случае это угол $\angle BHD$. По условию, $\angle BHD = 60^\circ$.

Найдем длины высот BH и DH. В равностороннем треугольнике ABC высота BH вычисляется по формуле: $BH = \frac{AC \sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

В прямоугольном треугольнике DHC (где $\angle DCH = 30^\circ$) катет DH можно найти через тангенс угла: $DH = HC \cdot \tan(\angle DCH) = 6 \cdot \tan(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник BHD. Нам известны длины двух сторон ($BH = 6\sqrt{3}$ см и $DH = 2\sqrt{3}$ см) и угол между ними ($\angle BHD = 60^\circ$). Чтобы найти длину третьей стороны BD, воспользуемся теоремой косинусов:

$BD^2 = BH^2 + DH^2 - 2 \cdot BH \cdot DH \cdot \cos(\angle BHD)$

$BD^2 = (6\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot (6\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{3}) \cdot \cos(60^\circ)$

$BD^2 = (36 \cdot 3) + (4 \cdot 3) - 2 \cdot (12 \cdot 3) \cdot \frac{1}{2}$

$BD^2 = 108 + 12 - 36$

$BD^2 = 120 - 36 = 84$

$BD = \sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$ см.

Ответ: $2\sqrt{21}$ см.

125. Равнобедренные треугольники $MNK$ и $MEK$ имеют общее основание $MK$. Найдите угол между плоскостями $MNK$ и $MEK$, если $MN = 5\sqrt{3}$ см, $EK = 13$ см, $EN = \sqrt{74}$ см, $MK = 10$ см.

Угол между плоскостями (MNK) и (MEK) - это двугранный угол, ребром которого является их общая прямая MK. Величиной двугранного угла является его линейный угол.

Построим линейный угол. Пусть H - середина отрезка MK. Поскольку треугольники MNK и MEK равнобедренные с общим основанием MK, их медианы NH и EH, проведенные к основанию, являются также и их высотами.

Таким образом, $NH \perp MK$ и $EH \perp MK$. Так как обе высоты проведены к одной точке H на ребре двугранного угла, угол $\angle NHE$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями (MNK) и (MEK).

Найдем длины отрезков NH и EH.

Рассмотрим равнобедренный треугольник MNK. $MN=NK=5\sqrt{3}$ см, $MK=10$ см. NH - высота, проведенная к основанию, поэтому треугольник NHK - прямоугольный. Катет $HK = \frac{MK}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см. По теореме Пифагора для $\triangle NHK$:
$NH^2 + HK^2 = NK^2$
$NH^2 + 5^2 = (5\sqrt{3})^2$
$NH^2 + 25 = 75$
$NH^2 = 50$
$NH = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим равнобедренный треугольник MEK. $ME=EK=13$ см, $MK=10$ см. EH - высота, проведенная к основанию, поэтому треугольник EHK - прямоугольный. Катет $HK = 5$ см. По теореме Пифагора для $\triangle EHK$:
$EH^2 + HK^2 = EK^2$
$EH^2 + 5^2 = 13^2$
$EH^2 + 25 = 169$
$EH^2 = 144$
$EH = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь рассмотрим треугольник NHE. Нам известны длины всех его сторон: $NH = 5\sqrt{2}$ см, $EH = 12$ см, $EN = \sqrt{74}$ см. Чтобы найти искомый угол $\angle NHE$, воспользуемся теоремой косинусов:

$EN^2 = NH^2 + EH^2 - 2 \cdot NH \cdot EH \cdot \cos(\angle NHE)$
$(\sqrt{74})^2 = (5\sqrt{2})^2 + 12^2 - 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 12 \cdot \cos(\angle NHE)$
$74 = 50 + 144 - 120\sqrt{2} \cdot \cos(\angle NHE)$
$74 = 194 - 120\sqrt{2} \cdot \cos(\angle NHE)$
$120\sqrt{2} \cdot \cos(\angle NHE) = 194 - 74$
$120\sqrt{2} \cdot \cos(\angle NHE) = 120$
$\cos(\angle NHE) = \frac{120}{120\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, угол $\angle NHE = 45^{\circ}$.

Ответ: $45^{\circ}$.

126. Гипотенуза $AB$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ принадлежит плоскости $\beta$, площадь этого треугольника равна 100 см$^2$, а расстояние от точки $C$ до плоскости $\beta$ — 5 см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $\beta$.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Его гипотенуза $AB$ лежит в плоскости $\beta$. Площадь треугольника $S_{ABC} = 100$ см², а расстояние от точки $C$ до плоскости $\beta$ равно $5$ см.

Угол между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью $\beta$ — это двугранный угол, который измеряется линейным углом. Линейный угол образуется двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей (в нашем случае это прямая $AB$) из одной точки.

1. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к гипотенузе $AB$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $CH$ является также медианой. Точка $H$ лежит на прямой $AB$, а значит, и в плоскости $\beta$.

2. Расстояние от точки $C$ до плоскости $\beta$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на плоскость $\beta$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $C'$. Тогда $CC' \perp \beta$ и $CC' = 5$ см.

3. По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $CH$ перпендикулярна прямой $AB$ в плоскости $\beta$, то и ее проекция $C'H$ на плоскость $\beta$ также перпендикулярна $AB$.

Таким образом, угол $\angle CHC'$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $\beta$. Найдем этот угол из прямоугольного треугольника $CC'H$ (угол $\angle CC'H = 90^\circ$).

Для этого нам нужно найти длину гипотенузы $CH$. Найдем ее, используя данные о треугольнике $ABC$.

Пусть катеты треугольника $AC = BC = a$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} a^2$$100 = \frac{1}{2} a^2$$a^2 = 200$ см².

По теореме Пифагора, гипотенуза $AB$ равна:$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = \sqrt{2 \cdot 200} = \sqrt{400} = 20$ см.

Высота $CH$, проведенная к гипотенузе, в равнобедренном прямоугольном треугольнике также является медианой. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы:$CH = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CC'H$. В нем:

• Катет $CC'$ (расстояние от $C$ до плоскости $\beta$) равен $5$ см.
• Гипотенуза $CH$ (высота треугольника $ABC$) равна $10$ см.

Найдем синус угла $\angle CHC'$:$\sin(\angle CHC') = \frac{CC'}{CH} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$

127. Прямоугольники $ABCD$ и $AMKD$ имеют общую сторону $AD$. Найдите угол между плоскостями прямоугольников, если $AD = 6$ см, $DK = 16$ см, $DC = 12$ см, $MC = 10$ см.

Прямоугольники $ABCD$ и $AMKD$ имеют общую сторону $AD$. Это означает, что плоскости, в которых лежат эти прямоугольники, пересекаются по прямой $AD$.

Угол между двумя плоскостями (двугранный угол) измеряется величиной его линейного угла. Для построения линейного угла выберем на линии пересечения $AD$ точку $D$ и в каждой из плоскостей проведем лучи, перпендикулярные $AD$.

В плоскости прямоугольника $ABCD$ сторона $DC$ перпендикулярна стороне $AD$ (так как все углы прямоугольника прямые, $ \angle ADC = 90^\circ $).

Аналогично, в плоскости прямоугольника $AMKD$ сторона $DK$ перпендикулярна стороне $AD$ ( $ \angle ADK = 90^\circ $).

Следовательно, искомый угол между плоскостями прямоугольников равен углу между прямыми $DC$ и $DK$, то есть $ \angle KDC $. Обозначим этот угол как $ \alpha $.

Для нахождения величины угла $ \alpha $ воспользуемся методом координат. Введем трехмерную прямоугольную систему координат с началом в точке $D(0, 0, 0)$.

Направим ось $Ox$ вдоль луча $DC$, а ось $Oy$ — вдоль луча $DA$. Плоскость прямоугольника $ABCD$ будет совпадать с плоскостью $Oxy$.

• Координаты точки $D$: $D(0, 0, 0)$.
• Так как $DC = 12$ см, координаты точки $C$: $C(12, 0, 0)$.
• Так как $AD = 6$ см, координаты точки $A$: $A(0, 6, 0)$.

Прямая $DK$ перпендикулярна прямой $DA$ (оси $Oy$), значит, вектор $ \vec{DK} $ лежит в плоскости $Ox_z$. Угол $ \alpha = \angle KDC $ является углом между вектором $ \vec{DK} $ и положительным направлением оси $Ox$. Координаты точки $K$ можно выразить через длину отрезка $DK = 16$ см и угол $ \alpha $:

$ K(16\cos\alpha, 0, 16\sin\alpha) $.

Найдем координаты точки $M$. В прямоугольнике $AMKD$ выполняется векторное равенство $ \vec{DM} = \vec{DA} + \vec{DK} $.

$ \vec{DA} = (0, 6, 0) $

$ \vec{DK} = (16\cos\alpha, 0, 16\sin\alpha) $

Складывая векторы, получаем координаты точки $M$:

$ M(0+16\cos\alpha, 6+0, 0+16\sin\alpha) = M(16\cos\alpha, 6, 16\sin\alpha) $.

По условию задачи, расстояние между точками $M$ и $C$ равно 10 см ($MC = 10$). Воспользуемся формулой для квадрата расстояния между двумя точками:

$ MC^2 = (x_M - x_C)^2 + (y_M - y_C)^2 + (z_M - z_C)^2 $

Подставим известные значения и координаты:

$ 10^2 = (16\cos\alpha - 12)^2 + (6 - 0)^2 + (16\sin\alpha - 0)^2 $

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$ 100 = (256\cos^2\alpha - 2 \cdot 16\cos\alpha \cdot 12 + 144) + 36 + 256\sin^2\alpha $

$ 100 = 256\cos^2\alpha - 384\cos\alpha + 144 + 36 + 256\sin^2\alpha $

Сгруппируем слагаемые, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:

$ 100 = 256(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) - 384\cos\alpha + 180 $

$ 100 = 256 \cdot 1 - 384\cos\alpha + 180 $

$ 100 = 436 - 384\cos\alpha $

Теперь выразим $ \cos\alpha $:

$ 384\cos\alpha = 436 - 100 $

$ 384\cos\alpha = 336 $

$ \cos\alpha = \frac{336}{384} $

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 336 и 384 равен 48:

$ \cos\alpha = \frac{336 \div 48}{384 \div 48} = \frac{7}{8} $

Таким образом, косинус искомого угла равен $ \frac{7}{8} $, а сам угол $ \alpha $ равен арккосинусу этого значения.

Ответ: $ \arccos\left(\frac{7}{8}\right) $.