Номер 121, страница 51 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

121. Из точек $A$ и $B$, лежащих в разных гранях двугранного угла, величина которого равна $30^\circ$, проведены к его ребру перпендикуляры $AC$ и $BD$. Найдите отрезок $CD$, если $AC = \sqrt{3}$ см, $BD = 2$ см, $AB = \sqrt{17}$ см.

Для решения задачи воспользуемся методом пространственной геометрии и теоремой Пифагора в пространстве, которую можно применить, рассмотрев проекцию одного из отрезков.

Пусть $l$ — ребро двугранного угла. По условию, у нас есть точки $A$ и $B$ в разных гранях. Проведены перпендикуляры $AC$ и $BD$ к ребру $l$, где $C$ и $D$ — точки на ребре $l$. Нам даны длины этих перпендикуляров и расстояние между точками $A$ и $B$:

• Величина двугранного угла $\alpha = 30^\circ$.
• $AC = \sqrt{3}$ см.
• $BD = 2$ см.
• $AB = \sqrt{17}$ см.

Требуется найти длину отрезка $CD$.

Выполним дополнительное построение. Через точку $A$ проведем прямую, параллельную ребру $l$. На этой прямой отложим отрезок $AE$ такой, что его длина равна длине отрезка $CD$, и вектор $\vec{AE}$ сонаправлен с вектором $\vec{CD}$. Таким образом, мы получаем четырехугольник $ACDE$, который является прямоугольником, так как $AC \perp CD$ и $AE \parallel CD$, $AC \parallel ED$. Следовательно, $AE = CD$ и $ED = AC = \sqrt{3}$. Также $ED \perp l$.

Теперь рассмотрим точки $B$, $D$ и $E$. Точки $D$ и $E$ лежат на одной прямой, перпендикулярной ребру $l$ (в плоскости, содержащей точку $A$). Точка $B$ лежит в другой грани, и отрезок $BD$ также перпендикулярен ребру $l$. Угол между отрезками $ED$ и $BD$, выходящими из одной точки $D$ на ребре и лежащими в разных гранях, равен линейному углу двугранного угла, то есть $\angle EDB = 30^\circ$.

Мы получили треугольник $EDB$. В нем известны две стороны и угол между ними:

• $ED = AC = \sqrt{3}$ см.
• $BD = 2$ см.
• $\angle EDB = 30^\circ$.

Найдем длину стороны $EB$ по теореме косинусов:

$EB^2 = ED^2 + BD^2 - 2 \cdot ED \cdot BD \cdot \cos(\angle EDB)$

$EB^2 = (\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \cos(30^\circ)$

Поскольку $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$EB^2 = 3 + 4 - 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7 - 2 \cdot 3 = 7 - 6 = 1$

Следовательно, $EB = \sqrt{1} = 1$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $AEB$. По построению, $AE \parallel l$ и $EB$ лежит в плоскости, перпендикулярной ребру $l$ (плоскости треугольника $EDB$). Значит, $AE \perp EB$. Таким образом, треугольник $AEB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $E$.

Применим к треугольнику $AEB$ теорему Пифагора:

$AB^2 = AE^2 + EB^2$

Мы знаем $AB = \sqrt{17}$ и $EB = 1$. Длина $AE$ равна искомой длине $CD$. Подставим известные значения в уравнение:

$(\sqrt{17})^2 = CD^2 + 1^2$

$17 = CD^2 + 1$

$CD^2 = 17 - 1 = 16$

$CD = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: 4 см.