Номер 117, страница 50 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

117. Треугольники $ABC$ и $ADC$ не лежат в одной плоскости. Прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ADC$, прямые $AB$ и $BC$ образуют с плоскостью $ADC$ углы по $30^\circ$, $\angle ADC = 90^\circ$. Найдите угол $ABC$.

Поскольку прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ADC$, то отрезок $BD$ является перпендикуляром, опущенным из точки $B$ на плоскость $ADC$. Отрезки $AD$ и $CD$ являются проекциями наклонных $AB$ и $BC$ на плоскость $ADC$ соответственно.

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. По условию задачи, прямые $AB$ и $BC$ образуют с плоскостью $ADC$ углы по $30^\circ$. Следовательно, $\angle BAD = 30^\circ$ и $\angle BCD = 30^\circ$.

Так как $BD \perp (ADC)$, то $BD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $BD \perp AD$ и $BD \perp CD$. Таким образом, треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $D$.

Рассмотрим эти прямоугольные треугольники. Пусть длина перпендикуляра $BD = h$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABD$:

$AB = \frac{BD}{\sin(\angle BAD)} = \frac{h}{\sin(30^\circ)} = \frac{h}{1/2} = 2h$

$AD = \frac{BD}{\tan(\angle BAD)} = \frac{h}{\tan(30^\circ)} = \frac{h}{1/\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$

В прямоугольном треугольнике $\triangle CBD$:

$BC = \frac{BD}{\sin(\angle BCD)} = \frac{h}{\sin(30^\circ)} = \frac{h}{1/2} = 2h$

$CD = \frac{BD}{\tan(\angle BCD)} = \frac{h}{\tan(30^\circ)} = \frac{h}{1/\sqrt{3}} = h\sqrt{3}$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Мы нашли длины его сторон $AB = 2h$ и $BC = 2h$. Треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным. Для нахождения угла $\angle ABC$ нам необходимо найти длину третьей стороны $AC$.

Сторону $AC$ найдем из треугольника $\triangle ADC$. По условию, $\angle ADC = 90^\circ$, следовательно, $\triangle ADC$ — прямоугольный. По теореме Пифагора:

$AC^2 = AD^2 + CD^2$

$AC^2 = (h\sqrt{3})^2 + (h\sqrt{3})^2 = 3h^2 + 3h^2 = 6h^2$

$AC = \sqrt{6h^2} = h\sqrt{6}$

Теперь, зная все три стороны треугольника $\triangle ABC$ ($AB=2h, BC=2h, AC=h\sqrt{6}$), мы можем найти $\angle ABC$ по теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$(h\sqrt{6})^2 = (2h)^2 + (2h)^2 - 2 \cdot (2h) \cdot (2h) \cdot \cos(\angle ABC)$

$6h^2 = 4h^2 + 4h^2 - 8h^2 \cdot \cos(\angle ABC)$

$6h^2 = 8h^2 - 8h^2 \cdot \cos(\angle ABC)$

Разделим обе части уравнения на $h^2$ (так как $h \neq 0$):

$6 = 8 - 8 \cos(\angle ABC)$

$8 \cos(\angle ABC) = 8 - 6$

$8 \cos(\angle ABC) = 2$

$\cos(\angle ABC) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Отсюда $\angle ABC = \arccos\left(\frac{1}{4}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{1}{4}\right)$