Номер 124, страница 51 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

124. Равнобедренные треугольники $ABC$ и $ADC$ имеют общее основание $AC$. Угол между их плоскостями равен $60^\circ$, $AC = 12$ см, $\angle ABC = 60^\circ$, $\angle ADC = 120^\circ$. Найдите отрезок $BD$.

Рассмотрим треугольник ABC. По условию, он равнобедренный с основанием AC и $\angle ABC = 60^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, а углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$. Так как все углы треугольника равны $60^\circ$, он является равносторонним. Следовательно, $AB = BC = AC = 12$ см.

Рассмотрим треугольник ADC. Он также является равнобедренным с основанием AC, а угол при вершине $\angle ADC = 120^\circ$. Углы при основании равны: $\angle DAC = \angle DCA = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.

Проведем высоты BH и DH из вершин B и D к общему основанию AC. Так как оба треугольника равнобедренные, эти высоты также являются медианами и пересекают AC в одной и той же точке H, которая является серединой AC. Таким образом, $AH = HC = AC / 2 = 12 / 2 = 6$ см.

Угол между плоскостями (ABC) и (ADC) определяется как угол между перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения (AC) в одной точке. В нашем случае это угол $\angle BHD$. По условию, $\angle BHD = 60^\circ$.

Найдем длины высот BH и DH. В равностороннем треугольнике ABC высота BH вычисляется по формуле: $BH = \frac{AC \sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

В прямоугольном треугольнике DHC (где $\angle DCH = 30^\circ$) катет DH можно найти через тангенс угла: $DH = HC \cdot \tan(\angle DCH) = 6 \cdot \tan(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник BHD. Нам известны длины двух сторон ($BH = 6\sqrt{3}$ см и $DH = 2\sqrt{3}$ см) и угол между ними ($\angle BHD = 60^\circ$). Чтобы найти длину третьей стороны BD, воспользуемся теоремой косинусов:

$BD^2 = BH^2 + DH^2 - 2 \cdot BH \cdot DH \cdot \cos(\angle BHD)$

$BD^2 = (6\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot (6\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{3}) \cdot \cos(60^\circ)$

$BD^2 = (36 \cdot 3) + (4 \cdot 3) - 2 \cdot (12 \cdot 3) \cdot \frac{1}{2}$

$BD^2 = 108 + 12 - 36$

$BD^2 = 120 - 36 = 84$

$BD = \sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$ см.

Ответ: $2\sqrt{21}$ см.