Номер 126, страница 51 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

126. Гипотенуза $AB$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ принадлежит плоскости $\beta$, площадь этого треугольника равна 100 см$^2$, а расстояние от точки $C$ до плоскости $\beta$ — 5 см. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $\beta$.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Его гипотенуза $AB$ лежит в плоскости $\beta$. Площадь треугольника $S_{ABC} = 100$ см², а расстояние от точки $C$ до плоскости $\beta$ равно $5$ см.

Угол между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью $\beta$ — это двугранный угол, который измеряется линейным углом. Линейный угол образуется двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей (в нашем случае это прямая $AB$) из одной точки.

1. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к гипотенузе $AB$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, высота $CH$ является также медианой. Точка $H$ лежит на прямой $AB$, а значит, и в плоскости $\beta$.

2. Расстояние от точки $C$ до плоскости $\beta$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на плоскость $\beta$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $C'$. Тогда $CC' \perp \beta$ и $CC' = 5$ см.

3. По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $CH$ перпендикулярна прямой $AB$ в плоскости $\beta$, то и ее проекция $C'H$ на плоскость $\beta$ также перпендикулярна $AB$.

Таким образом, угол $\angle CHC'$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $\beta$. Найдем этот угол из прямоугольного треугольника $CC'H$ (угол $\angle CC'H = 90^\circ$).

Для этого нам нужно найти длину гипотенузы $CH$. Найдем ее, используя данные о треугольнике $ABC$.

Пусть катеты треугольника $AC = BC = a$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} a^2$$100 = \frac{1}{2} a^2$$a^2 = 200$ см².

По теореме Пифагора, гипотенуза $AB$ равна:$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = \sqrt{2 \cdot 200} = \sqrt{400} = 20$ см.

Высота $CH$, проведенная к гипотенузе, в равнобедренном прямоугольном треугольнике также является медианой. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы:$CH = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CC'H$. В нем:

• Катет $CC'$ (расстояние от $C$ до плоскости $\beta$) равен $5$ см.
• Гипотенуза $CH$ (высота треугольника $ABC$) равна $10$ см.

Найдем синус угла $\angle CHC'$:$\sin(\angle CHC') = \frac{CC'}{CH} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$