Номер 129, страница 52 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

129. Через центр $O$ правильного треугольника $ABC$ проведена прямая $a$, перпендикулярная плоскости треугольника. Плоскость, проведённая через сторону $AB$, пересекает прямую $a$ в точке $M$. Угол между плоскостями $ABC$ и $ABM$ равен $60^\circ$. Найдите сторону треугольника $ABC$, если проекция отрезка $MO$ на плоскость $ABM$ равна $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ см.

Пусть сторона правильного треугольника $ABC$ равна $a$. Центр правильного треугольника $O$ является точкой пересечения его медиан, высот и биссектрис.

1. Определение линейного угла двугранного угла.

Двугранный угол между плоскостями $ABC$ и $ABM$ измеряется линейным углом. Линия пересечения плоскостей — прямая $AB$.
Проведем высоту и медиану $CK$ в треугольнике $ABC$. Так как $\triangle ABC$ — правильный, то $CK \perp AB$.
Точка $O$ лежит на $CK$, следовательно, $OK \perp AB$. $OK$ — это проекция наклонной $MK$ на плоскость $ABC$.
По теореме о трех перпендикулярах, так как проекция $OK$ перпендикулярна прямой $AB$, то и наклонная $MK$ перпендикулярна прямой $AB$ ($MK \perp AB$).
Следовательно, угол $\angle MKO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $ABM$. По условию, $\angle MKO = 60^\circ$.

2. Нахождение длины отрезка $MO$.

Так как прямая $a$ (содержащая отрезок $MO$) перпендикулярна плоскости $ABC$, то $MO \perp CK$, а значит $MO \perp OK$. Таким образом, $\triangle MOK$ — прямоугольный с прямым углом $\angle MOK$.
В правильном треугольнике $ABC$ со стороной $a$ высота $CK$ равна $CK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Точка $O$ делит медиану $CK$ в отношении $2:1$, считая от вершины $C$. Значит, $OK = \frac{1}{3}CK$.
$OK = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
В прямоугольном треугольнике $MOK$ имеем: $\text{tg}(\angle MKO) = \frac{MO}{OK}$.
$MO = OK \cdot \text{tg}(60^\circ) = \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot \sqrt{3} = \frac{a \cdot 3}{6} = \frac{a}{2}$.

3. Использование проекции отрезка $MO$.

Проекцией отрезка $MO$ на плоскость $ABM$ является отрезок $MH$, где $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на плоскость $ABM$. По условию, длина этой проекции $MH = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ см.
Так как $OH \perp (ABM)$, то $OH$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $H$. В частности, $OH \perp MK$. Это означает, что $OH$ — высота прямоугольного треугольника $MOK$, проведенная к гипотенузе $MK$.
Длина проекции $MH$ связана с длиной отрезка $MO$ через угол между отрезком $MO$ и плоскостью $ABM$. Этот угол равен $\angle OMH$. $MH = MO \cdot \cos(\angle OMH)$.
В прямоугольном треугольнике $MOK$:
$\angle OMK = 90^\circ - \angle MKO = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
Угол $\angle OMH$ совпадает с углом $\angle OMK$, так как точка $H$ лежит на $MK$. Таким образом, $\angle OMH = 30^\circ$.

4. Вычисление стороны треугольника.

Подставим известные значения в формулу для проекции: $MH = MO \cdot \cos(30^\circ)$.
$\frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$.
Умножим обе части уравнения на $4$: $6\sqrt{3} = a\sqrt{3}$.
Разделим обе части на $\sqrt{3}$: $a = 6$.
Таким образом, сторона треугольника $ABC$ равна 6 см.

Ответ: 6 см.