Номер 135, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

135. Плоскости $\beta$ и $\varphi$ перпендикулярны и пересекаются по прямой $m$. Плоскость $\alpha$ пересекает плоскости $\beta$ и $\varphi$ соответственно по прямым $n$ и $p$, параллельным прямой $m$. Найдите расстояние между прямыми $n$ и $p$, если расстояние от прямой $m$ до плоскости $\alpha$ равно 9 см, а расстояние между прямыми $m$ и $n$ — 15 см.

Поскольку плоскости $ \beta $ и $ \varphi $ перпендикулярны ($ \beta \perp \varphi $) и пересекаются по прямой $m$, а плоскость $ \alpha $ пересекает их по прямым $n$ и $p$, параллельным прямой $m$, то все три прямые $m$, $n$ и $p$ параллельны друг другу ($m \parallel n \parallel p$).

Расстояние между параллельными прямыми — это длина их общего перпендикуляра. Построим плоскость $ \gamma $, перпендикулярную прямой $m$. Так как $n \parallel m$ и $p \parallel m$, то плоскость $ \gamma $ будет также перпендикулярна прямым $n$ и $p$.

Пусть плоскость $ \gamma $ пересекает прямые $m$, $n$ и $p$ в точках $M$, $N$ и $P$ соответственно.

Точка $M$ принадлежит прямой $m$, которая является линией пересечения плоскостей $ \beta $ и $ \varphi $.

Точка $N$ принадлежит прямой $n$, которая лежит в плоскости $ \beta $ ($n \subset \beta$). Следовательно, отрезок $MN$ лежит в плоскости $ \beta $.

Точка $P$ принадлежит прямой $p$, которая лежит в плоскости $ \varphi $ ($p \subset \varphi$). Следовательно, отрезок $MP$ лежит в плоскости $ \varphi $.

Поскольку плоскости $ \beta $ и $ \varphi $ перпендикулярны, а отрезки $MN$ и $MP$ лежат в этих плоскостях и оба перпендикулярны их линии пересечения $m$ (по построению плоскости $ \gamma $), то угол между отрезками $MN$ и $MP$ равен $90^\circ$. Таким образом, треугольник $ \triangle MNP $ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$.

В этом треугольнике:

• Катет $MN$ — это расстояние между прямыми $m$ и $n$. По условию, $MN = 15$ см.
• Гипотенуза $NP$ — это искомое расстояние между прямыми $n$ и $p$.

Расстояние от прямой $m$ до плоскости $ \alpha $ равно длине перпендикуляра, опущенного из любой точки прямой $m$ на плоскость $ \alpha $. Опустим перпендикуляр из точки $M$ на плоскость $ \alpha $. Так как прямая $NP$ лежит в плоскости $ \alpha $, то основание этого перпендикуляра, точка $H$, будет лежать на прямой $NP$. Таким образом, $MH$ — это высота прямоугольного треугольника $ \triangle MNP $, проведенная к гипотенузе. По условию, $MH = 9$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle MNP $. У нас есть катет $MN = 15$ см и высота к гипотенузе $MH = 9$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ \triangle MNH $ (с прямым углом $H$). По теореме Пифагора: $MN^2 = MH^2 + NH^2$

$15^2 = 9^2 + NH^2$

$225 = 81 + NH^2$

$NH^2 = 225 - 81 = 144$

$NH = \sqrt{144} = 12$ см.

В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу: $MH^2 = NH \cdot PH$

$9^2 = 12 \cdot PH$

$81 = 12 \cdot PH$

$PH = \frac{81}{12} = \frac{27}{4} = 6,75$ см.

Искомое расстояние между прямыми $n$ и $p$ равно длине гипотенузы $NP$: $NP = NH + PH = 12 + 6,75 = 18,75$ см.

Ответ: 18,75 см.