Номер 138, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

138. Прямоугольник $ABCD$ перегнули по диагонали $BD$ так, что плоскости $ABD$ и $CBD$ оказались перпендикулярными. Найдите расстояние между точками $A$ и $C$ в новом положении, если $AB = 30$ см, $BD = 50$ см.

Рис. 64

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, то треугольник $ABD$ является прямоугольным с гипотенузой $BD$. По теореме Пифагора найдем длину катета $AD$:

$AD^2 = BD^2 - AB^2$

$AD = \sqrt{50^2 - 30^2} = \sqrt{2500 - 900} = \sqrt{1600} = 40$ см.

После сгибания прямоугольника по диагонали $BD$ мы получили два треугольника $ABD$ и $CBD$, лежащие в перпендикулярных плоскостях. Для нахождения расстояния между точками $A$ и $C$ в новом положении, опустим из этих точек перпендикуляры на линию сгиба $BD$.

Пусть $AH$ — высота прямоугольного треугольника $ABD$, проведенная из вершины прямого угла $A$ к гипотенузе $BD$. Площадь треугольника $ABD$ можно вычислить двумя способами:

$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600$ см$^2$.

$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AH$.

Приравнивая эти два выражения, находим $AH$:

$AH = \frac{2 \cdot S_{\triangle ABD}}{BD} = \frac{2 \cdot 600}{50} = 24$ см.

Аналогично, в треугольнике $CBD$ проведем высоту $CK$ к гипотенузе $BD$. Так как треугольники $ABD$ и $CDB$ равны (по трем сторонам, ведь $CD=AB$ и $BC=AD$), то их высоты, проведенные к общей гипотенузе $BD$, также равны: $CK = AH = 24$ см.

Теперь найдем положение оснований этих высот, точек $H$ и $K$, на диагонали $BD$.

Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора:

$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{30^2 - 24^2} = \sqrt{900 - 576} = \sqrt{324} = 18$ см.

Из прямоугольного треугольника $CDK$ (где $CD=AB=30$ см) по теореме Пифагора:

$DK = \sqrt{CD^2 - CK^2} = \sqrt{30^2 - 24^2} = \sqrt{900 - 576} = \sqrt{324} = 18$ см.

Расстояние между точками $H$ и $K$ на отрезке $BD$ будет равно:

$HK = BD - BH - DK = 50 - 18 - 18 = 14$ см.

По условию, плоскости $(ABD)$ и $(CBD)$ перпендикулярны. Так как отрезок $AH$ лежит в плоскости $(ABD)$ и перпендикулярен линии пересечения плоскостей $BD$ ($AH \perp BD$), то $AH$ перпендикулярен всей плоскости $(CBD)$. Это означает, что $AH$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности, прямой $HC$. Таким образом, треугольник $AHC$ — прямоугольный, с прямым углом $\angle AHC$.

Теперь найдем квадрат длины катета $HC$. Отрезок $HC$ — это гипотенуза в прямоугольном треугольнике $CKH$ (так как $CK \perp BD$, то $\angle CKH = 90^\circ$), который лежит в плоскости $(CBD)$. По теореме Пифагора:

$HC^2 = CK^2 + HK^2 = 24^2 + 14^2 = 576 + 196 = 772$.

Наконец, найдем искомое расстояние $AC$ из прямоугольного треугольника $AHC$:

$AC^2 = AH^2 + HC^2 = 24^2 + 772 = 576 + 772 = 1348$.

$AC = \sqrt{1348} = \sqrt{4 \cdot 337} = 2\sqrt{337}$ см.

Ответ: $2\sqrt{337}$ см.