Номер 137, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

137. Концы отрезка $AB$, длина которого равна $2\sqrt{2}$ см, лежат в перпендикулярных плоскостях $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Из точек $A$ и $B$ опущены перпендикуляры $AA_1$ и $BB_1$ на линию пересечения плоскостей, $AB_1 = \sqrt{6}$ см, $AA_1 = 2$ см. Найдите углы, которые образует отрезок $AB$ с плоскостями $\alpha$ и $\beta$.

Угол, который образует отрезок AB с плоскостью $\alpha$
Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, и $BB_1$ — перпендикуляр, опущенный из точки $B \in \beta$ на линию их пересечения, то $BB_1$ перпендикулярен всей плоскости $\alpha$.Следовательно, проекцией точки $B$ на плоскость $\alpha$ является точка $B_1$. Проекцией точки $A$, лежащей в плоскости $\alpha$, является сама точка $A$.Таким образом, проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$ является отрезок $AB_1$.Искомый угол — это угол между наклонной $AB$ и ее проекцией $AB_1$, то есть $\angle BAB_1$.Так как $BB_1 \perp \alpha$, то треугольник $\triangle BAB_1$ — прямоугольный ($\angle AB_1B = 90^\circ$).По теореме Пифагора найдем длину катета $BB_1$:$BB_1 = \sqrt{AB^2 - AB_1^2} = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{6})^2} = \sqrt{8 - 6} = \sqrt{2}$ см.Синус искомого угла равен отношению противолежащего катета $BB_1$ к гипотенузе $AB$:$\sin(\angle BAB_1) = \frac{BB_1}{AB} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.Следовательно, угол отрезка $AB$ с плоскостью $\alpha$ равен $30^\circ$.
Ответ: $30^\circ$.

Угол, который образует отрезок AB с плоскостью $\beta$
Аналогично, так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, а $AA_1$ — перпендикуляр из точки $A \in \alpha$ на их линию пересечения, то $AA_1$ перпендикулярен всей плоскости $\beta$.Следовательно, проекцией точки $A$ на плоскость $\beta$ является точка $A_1$. Проекцией точки $B$, лежащей в плоскости $\beta$, является сама точка $B$.Проекцией отрезка $AB$ на плоскость $\beta$ является отрезок $A_1B$.Искомый угол — это угол между наклонной $AB$ и ее проекцией $A_1B$, то есть $\angle ABA_1$.Так как $AA_1 \perp \beta$, то треугольник $\triangle ABA_1$ — прямоугольный ($\angle AA_1B = 90^\circ$).Синус искомого угла равен отношению противолежащего катета $AA_1$ к гипотенузе $AB$:$\sin(\angle ABA_1) = \frac{AA_1}{AB} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.Следовательно, угол отрезка $AB$ с плоскостью $\beta$ равен $45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.