Номер 139, страница 53 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

139. Плоскости квадратов $ABCD$ и $ABC_1D_1$ перпендикулярны (рис. 64). Найдите расстояние между прямыми $CD_1$ и $AB$, если $AB = 6$ см.

Рис. 64

По условию, ABCD и ABC₁D₁ — два квадрата со стороной 6 см, которые лежат в перпендикулярных плоскостях и имеют общую сторону AB. Прямые AB и CD₁ являются скрещивающимися. Чтобы найти расстояние между ними, воспользуемся методом проекций.

1. Построение плоскости проекции.

Построим плоскость, перпендикулярную одной из прямых, например, прямой AB.

• Поскольку ABCD — квадрат, его стороны перпендикулярны, следовательно, $AD \perp AB$.
• Поскольку ABC₁D₁ — квадрат, то $AD_1 \perp AB$.

Прямые AD и AD₁ пересекаются в точке A. Так как прямая AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым (AD и AD₁), лежащим в плоскости (ADD₁), то прямая AB перпендикулярна всей плоскости (ADD₁).

2. Проектирование прямых на плоскость (ADD₁).

Проекцией прямой AB на перпендикулярную ей плоскость (ADD₁) является точка пересечения — точка A.

Теперь найдем проекцию прямой CD₁ на плоскость (ADD₁). Для этого спроецируем ее концы — точки C и D₁:

• Точка D₁ уже лежит в плоскости (ADD₁), поэтому ее проекция — это сама точка D₁.
• Чтобы найти проекцию точки C, нужно опустить перпендикуляр из точки C на плоскость (ADD₁). Так как ABCD — квадрат, то CD || AB. А поскольку $AB \perp (ADD_1)$, то и параллельная ей прямая $CD \perp (ADD_1)$. Это означает, что отрезок CD является перпендикуляром из точки C к плоскости (ADD₁), а точка D — его основание. Таким образом, проекцией точки C на плоскость (ADD₁) является точка D.

Следовательно, проекцией прямой CD₁ на плоскость (ADD₁) является прямая DD₁.

3. Вычисление расстояния.

Расстояние между скрещивающимися прямыми AB и CD₁ равно расстоянию между их проекциями на плоскость (ADD₁), то есть расстоянию от точки A до прямой DD₁. Это расстояние является длиной высоты треугольника ADD₁, проведенной из вершины A к стороне DD₁.

Рассмотрим треугольник ADD₁.

• Стороны AD и AD₁ являются сторонами квадратов, поэтому $AD = 6$ см и $AD_1 = 6$ см.
• Так как плоскость (ABCD) перпендикулярна плоскости (ABC₁D₁), а прямая AD лежит в плоскости (ABCD) и перпендикулярна линии их пересечения AB, то прямая AD перпендикулярна всей плоскости (ABC₁D₁). Следовательно, AD перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе AD₁. Таким образом, $\angle DAD_1 = 90^\circ$.

Треугольник ADD₁ — прямоугольный и равнобедренный. Найдем его гипотенузу DD₁ по теореме Пифагора: $DD_1 = \sqrt{AD^2 + AD_1^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ см.

Пусть h — высота, проведенная из вершины A к гипотенузе DD₁. Площадь треугольника ADD₁ можно вычислить двумя способами: $S = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AD_1 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18$ см². $S = \frac{1}{2} \cdot DD_1 \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot h = 3\sqrt{2} \cdot h$.

Приравнивая два выражения для площади, найдем h: $3\sqrt{2} \cdot h = 18$ $h = \frac{18}{3\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Таким образом, расстояние между прямыми AB и CD₁ равно $3\sqrt{2}$ см.

Ответ: $3\sqrt{2}$ см.