Номер 145, страница 54 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

145. Площадь трапеции равна 72 см$^2$, а её ортогональная проекция на плоскость $\alpha$ — равнобокая трапеция с основаниями 4 см и 8 см, диагонали которой перпендикулярны. Найдите угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью данной трапеции.

Пусть $S$ — площадь данной трапеции, а $S_{пр}$ — площадь её ортогональной проекции на плоскость $\alpha$. Угол между плоскостью трапеции и плоскостью $\alpha$ обозначим через $\varphi$.

Площадь ортогональной проекции многоугольника связана с площадью самого многоугольника формулой:

$S_{пр} = S \cdot \cos(\varphi)$

Из этой формулы можно выразить косинус искомого угла:

$\cos(\varphi) = \frac{S_{пр}}{S}$

По условию задачи, площадь исходной трапеции $S = 72$ см$^2$. Чтобы найти угол $\varphi$, нам необходимо вычислить площадь её проекции $S_{пр}$.

Проекцией является равнобокая трапеция с основаниями $a = 4$ см и $b = 8$ см. По условию, её диагонали перпендикулярны.

Найдем площадь этой трапеции. Для равнобокой трапеции, у которой диагонали перпендикулярны, высота $h$ равна полусумме её оснований. Это свойство можно доказать, рассмотрев точку пересечения диагоналей. Она делит трапецию на два равнобедренных прямоугольных треугольника (с основаниями трапеции в качестве гипотенуз) и два равных прямоугольных треугольника. Высота трапеции будет суммой высот (они же и медианы), проведенных из вершины прямого угла к гипотенузам в равнобедренных прямоугольных треугольниках. Высота, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Таким образом:

$h = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} = \frac{a+b}{2}$

Подставим значения оснований трапеции-проекции:

$h = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Теперь вычислим площадь проекции по стандартной формуле площади трапеции:

$S_{пр} = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{4+8}{2} \cdot 6 = 6 \cdot 6 = 36$ см$^2$.

Зная площади исходной трапеции и её проекции, мы можем найти косинус угла между их плоскостями:

$\cos(\varphi) = \frac{S_{пр}}{S} = \frac{36}{72} = \frac{1}{2}$

Угол $\varphi$, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.