Номер 150, страница 55 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

150. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 9 см и 15 см, а боковая сторона — 6 см. Найдите двугранные углы призмы при её боковых рёбрах.

Двугранный угол при боковом ребре прямой призмы равен соответствующему внутреннему углу многоугольника, лежащего в основании. Это следует из того, что боковые рёбра прямой призмы перпендикулярны плоскости основания, а значит, и любым прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через основание ребра. Таким образом, линейным углом двугранного угла является угол между соответствующими сторонами основания.

Задача сводится к нахождению внутренних углов равнобокой трапеции, которая является основанием призмы.

Пусть основанием призмы является равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, где $AD = 15$ см, $BC = 9$ см, и боковыми сторонами $AB = CD = 6$ см.

Проведём из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на большее основание $AD$. Четырёхугольник $BCKH$ является прямоугольником, так как $BC \parallel AD$ и высоты $BH$ и $CK$ перпендикулярны $AD$. Следовательно, $HK = BC = 9$ см.

Так как трапеция равнобокая, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны (по гипотенузе и катету). Отсюда следует, что катеты $AH$ и $KD$ равны.

Длину отрезка $AH$ можно найти следующим образом:
$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{15 - 9}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. Мы знаем гипотенузу $AB = 6$ см и катет $AH = 3$ см. Найдём косинус угла $\angle A$ (он же $\angle DAB$):
$\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Отсюда находим величину угла $\angle A$:
$\angle A = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^{\circ}$.

Так как трапеция равнобокая, углы при каждом основании равны. Следовательно, $\angle D = \angle A = 60^{\circ}$.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^{\circ}$. Найдём углы при меньшем основании:
$\angle B = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
$\angle C = 180^{\circ} - \angle D = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$.

Таким образом, внутренние углы трапеции равны $60^{\circ}$, $120^{\circ}$, $120^{\circ}$, $60^{\circ}$. Эти углы и являются искомыми двугранными углами при боковых рёбрах призмы.

Ответ: Два двугранных угла равны $60^{\circ}$ каждый, и два других двугранных угла равны $120^{\circ}$ каждый.