Номер 132, страница 52 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

132. Точка $F$ равноудалена от вершин прямоугольника $ABCD$. Докажите, что плоскости $AFC$ и $ABC$ перпендикулярны.

По условию задачи, точка $F$ равноудалена от всех вершин прямоугольника $ABCD$. Это означает, что расстояния от точки $F$ до каждой вершины равны, то есть $FA = FB = FC = FD$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AFC$. Так как по условию $FA = FC$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AC$.

Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$. Свойством диагоналей прямоугольника является то, что они равны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой диагонали $AC$.

Отрезок $FO$ в равнобедренном треугольнике $\triangle AFC$ соединяет вершину $F$ с серединой основания $AC$, то есть является медианой. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Отсюда следует, что $FO \perp AC$.

Аналогично рассмотрим треугольник $\triangle FBD$. Так как $FB = FD$, он также является равнобедренным с основанием $BD$. Точка $O$ является серединой диагонали $BD$. Следовательно, отрезок $FO$ является медианой и высотой в треугольнике $\triangle FBD$. Отсюда следует, что $FO \perp BD$.

Мы получили, что прямая $FO$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $BD$), которые лежат в плоскости прямоугольника $(ABC)$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости. Таким образом, $FO \perp (ABC)$.

Плоскость $(AFC)$ определяется тремя точками $A$, $F$ и $C$. Прямая $FO$ проходит через точку $F$ и точку $O$. Так как точка $O$ лежит на прямой $AC$, она также принадлежит плоскости $(AFC)$. Следовательно, вся прямая $FO$ лежит в плоскости $(AFC)$.

Итак, плоскость $(AFC)$ содержит прямую $FO$, которая перпендикулярна плоскости $(ABC)$. По признаку перпендикулярности двух плоскостей, если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Следовательно, $(AFC) \perp (ABC)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.