Номер 125, страница 51 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

125. Равнобедренные треугольники $MNK$ и $MEK$ имеют общее основание $MK$. Найдите угол между плоскостями $MNK$ и $MEK$, если $MN = 5\sqrt{3}$ см, $EK = 13$ см, $EN = \sqrt{74}$ см, $MK = 10$ см.

Угол между плоскостями (MNK) и (MEK) - это двугранный угол, ребром которого является их общая прямая MK. Величиной двугранного угла является его линейный угол.

Построим линейный угол. Пусть H - середина отрезка MK. Поскольку треугольники MNK и MEK равнобедренные с общим основанием MK, их медианы NH и EH, проведенные к основанию, являются также и их высотами.

Таким образом, $NH \perp MK$ и $EH \perp MK$. Так как обе высоты проведены к одной точке H на ребре двугранного угла, угол $\angle NHE$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями (MNK) и (MEK).

Найдем длины отрезков NH и EH.

Рассмотрим равнобедренный треугольник MNK. $MN=NK=5\sqrt{3}$ см, $MK=10$ см. NH - высота, проведенная к основанию, поэтому треугольник NHK - прямоугольный. Катет $HK = \frac{MK}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см. По теореме Пифагора для $\triangle NHK$:
$NH^2 + HK^2 = NK^2$
$NH^2 + 5^2 = (5\sqrt{3})^2$
$NH^2 + 25 = 75$
$NH^2 = 50$
$NH = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим равнобедренный треугольник MEK. $ME=EK=13$ см, $MK=10$ см. EH - высота, проведенная к основанию, поэтому треугольник EHK - прямоугольный. Катет $HK = 5$ см. По теореме Пифагора для $\triangle EHK$:
$EH^2 + HK^2 = EK^2$
$EH^2 + 5^2 = 13^2$
$EH^2 + 25 = 169$
$EH^2 = 144$
$EH = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь рассмотрим треугольник NHE. Нам известны длины всех его сторон: $NH = 5\sqrt{2}$ см, $EH = 12$ см, $EN = \sqrt{74}$ см. Чтобы найти искомый угол $\angle NHE$, воспользуемся теоремой косинусов:

$EN^2 = NH^2 + EH^2 - 2 \cdot NH \cdot EH \cdot \cos(\angle NHE)$
$(\sqrt{74})^2 = (5\sqrt{2})^2 + 12^2 - 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 12 \cdot \cos(\angle NHE)$
$74 = 50 + 144 - 120\sqrt{2} \cdot \cos(\angle NHE)$
$74 = 194 - 120\sqrt{2} \cdot \cos(\angle NHE)$
$120\sqrt{2} \cdot \cos(\angle NHE) = 194 - 74$
$120\sqrt{2} \cdot \cos(\angle NHE) = 120$
$\cos(\angle NHE) = \frac{120}{120\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, угол $\angle NHE = 45^{\circ}$.

Ответ: $45^{\circ}$.