Номер 118, страница 50 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Двугранный угол. Угол между плоскостями

118. На одной из граней двугранного угла отметили точку $B$, удалённую от другой грани на 7 см, а от ребра двугранного угла — на 14 см. Найдите величину двугранного угла.

Пусть данный двугранный угол образован полуплоскостями $ \alpha $ и $ \beta $, которые пересекаются по прямой $ a $ (ребро двугранного угла). По условию задачи, на одной из граней, пусть это будет грань $ \alpha $, отмечена точка $ B $.

Расстояние от точки $ B $ до другой грани $ \beta $ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $ B $ на плоскость $ \beta $. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $ C $. Таким образом, отрезок $ BC $ перпендикулярен плоскости $ \beta $ ($ BC \perp \beta $), и его длина равна $ BC = 7 $ см.

Расстояние от точки $ B $ до ребра $ a $ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $ B $ на прямую $ a $. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $ A $. Так как точка $ B $ находится в плоскости $ \alpha $, а точка $ A $ — на ребре $ a $, которое также лежит в плоскости $ \alpha $, то отрезок $ BA $ полностью принадлежит плоскости $ \alpha $. По определению расстояния, $ BA \perp a $, и его длина равна $ BA = 14 $ см.

Для нахождения величины двугранного угла необходимо построить его линейный угол. Линейный угол двугранного угла — это угол, образованный двумя лучами, исходящими из одной точки на ребре, перпендикулярными ребру и лежащими в разных гранях.В нашей конструкции отрезок $ BA $ лежит в грани $ \alpha $ и перпендикулярен ребру $ a $. Отрезок $ AC $ является проекцией наклонной $ BA $ на плоскость $ \beta $. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($ BA $) перпендикулярна прямой ($ a $), лежащей в плоскости проекции ($ \beta $), то и сама проекция ($ AC $) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $ AC \perp a $.

Таким образом, угол $ \angle BAC $ является линейным углом данного двугранного угла. Обозначим величину этого угла через $ \phi $.

Рассмотрим треугольник $ \triangle BAC $. Так как $ BC $ — перпендикуляр к плоскости $ \beta $, а отрезок $ AC $ лежит в этой плоскости и проходит через основание перпендикуляра $ C $, то $ BC \perp AC $. Это означает, что $ \triangle BAC $ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $ C $.

В прямоугольном треугольнике $ \triangle BAC $:

• $ BA $ — гипотенуза, $ BA = 14 $ см.
• $ BC $ — катет, противолежащий углу $ \phi = \angle BAC $, $ BC = 7 $ см.

Для нахождения угла $ \phi $ воспользуемся определением синуса в прямоугольном треугольнике:$ \sin(\phi) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{BA} $

Подставив известные значения, получим:$ \sin(\phi) = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} $

Угол, синус которого равен $ \frac{1}{2} $, составляет $ 30^\circ $. Следовательно, величина искомого двугранного угла равна $ 30^\circ $.

Ответ: $30^\circ$