Номер 119, страница 50 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

119. В гранях двугранного угла проведены прямые m и n, параллельные его ребру, на расстоянии 8 см и $2\sqrt{3}$ см от него соответственно. Найдите величину этого двугранного угла, если расстояние между прямыми m и n равно $2\sqrt{31}$ см.

Пусть дан двугранный угол, образованный полуплоскостями $\alpha$ и $\beta$ с общим ребром $e$. Пусть искомая величина этого двугранного угла равна $\varphi$.

В грани $\alpha$ проведена прямая $m$, параллельная ребру $e$ на расстоянии 8 см от него. В грани $\beta$ проведена прямая $n$, параллельная ребру $e$ на расстоянии $2\sqrt{3}$ см от него.

Для нахождения величины двугранного угла построим его линейный угол. Для этого выберем на ребре $e$ произвольную точку $O$ и проведём в гранях $\alpha$ и $\beta$ лучи $OA$ и $OB$ соответственно, перпендикулярные ребру $e$. Угол $\angle AOB$ будет являться линейным углом данного двугранного угла, и его величина равна $\varphi$.

Поскольку прямая $m$ лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна $e$, а луч $OA$ лежит в той же плоскости и перпендикулярен $e$, то луч $OA$ будет перпендикулярен прямой $m$. Точка $A$ — это точка пересечения луча $OA$ и прямой $m$. Длина отрезка $OA$ равна расстоянию от прямой $m$ до ребра $e$, то есть $OA = 8$ см.

Аналогично, поскольку прямая $n$ лежит в плоскости $\beta$ и параллельна $e$, а луч $OB$ лежит в той же плоскости и перпендикулярен $e$, то луч $OB$ будет перпендикулярен прямой $n$. Точка $B$ — это точка пересечения луча $OB$ и прямой $n$. Длина отрезка $OB$ равна расстоянию от прямой $n$ до ребра $e$, то есть $OB = 2\sqrt{3}$ см.

Плоскость, содержащая треугольник $OAB$, перпендикулярна ребру $e$. Так как прямые $m$ и $n$ параллельны ребру $e$, то эта плоскость перпендикулярна и прямым $m$ и $n$. Следовательно, отрезок $AB$, соединяющий точки на этих прямых, является расстоянием между ними. По условию, это расстояние равно $2\sqrt{31}$ см, то есть $AB = 2\sqrt{31}$ см.

Рассмотрим треугольник $OAB$. Мы знаем длины всех трёх его сторон: $OA = 8$ см, $OB = 2\sqrt{3}$ см, $AB = 2\sqrt{31}$ см. Угол $\angle AOB = \varphi$ является искомым углом. Применим теорему косинусов для треугольника $OAB$:

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$

Подставим известные значения:

$(2\sqrt{31})^2 = 8^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(\varphi)$

$4 \cdot 31 = 64 + 4 \cdot 3 - 32\sqrt{3} \cos(\varphi)$

$124 = 64 + 12 - 32\sqrt{3} \cos(\varphi)$

$124 = 76 - 32\sqrt{3} \cos(\varphi)$

Выразим $\cos(\varphi)$:

$32\sqrt{3} \cos(\varphi) = 76 - 124$

$32\sqrt{3} \cos(\varphi) = -48$

$\cos(\varphi) = \frac{-48}{32\sqrt{3}} = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = -\frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь найдём угол $\varphi$, зная его косинус. Так как величина двугранного угла находится в пределах от $0^{\circ}$ до $180^{\circ}$, то:

$\varphi = \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 150^{\circ}$

Ответ: $150^{\circ}$.