Номер 127, страница 51 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

127. Прямоугольники $ABCD$ и $AMKD$ имеют общую сторону $AD$. Найдите угол между плоскостями прямоугольников, если $AD = 6$ см, $DK = 16$ см, $DC = 12$ см, $MC = 10$ см.

Прямоугольники $ABCD$ и $AMKD$ имеют общую сторону $AD$. Это означает, что плоскости, в которых лежат эти прямоугольники, пересекаются по прямой $AD$.

Угол между двумя плоскостями (двугранный угол) измеряется величиной его линейного угла. Для построения линейного угла выберем на линии пересечения $AD$ точку $D$ и в каждой из плоскостей проведем лучи, перпендикулярные $AD$.

В плоскости прямоугольника $ABCD$ сторона $DC$ перпендикулярна стороне $AD$ (так как все углы прямоугольника прямые, $ \angle ADC = 90^\circ $).

Аналогично, в плоскости прямоугольника $AMKD$ сторона $DK$ перпендикулярна стороне $AD$ ( $ \angle ADK = 90^\circ $).

Следовательно, искомый угол между плоскостями прямоугольников равен углу между прямыми $DC$ и $DK$, то есть $ \angle KDC $. Обозначим этот угол как $ \alpha $.

Для нахождения величины угла $ \alpha $ воспользуемся методом координат. Введем трехмерную прямоугольную систему координат с началом в точке $D(0, 0, 0)$.

Направим ось $Ox$ вдоль луча $DC$, а ось $Oy$ — вдоль луча $DA$. Плоскость прямоугольника $ABCD$ будет совпадать с плоскостью $Oxy$.

• Координаты точки $D$: $D(0, 0, 0)$.
• Так как $DC = 12$ см, координаты точки $C$: $C(12, 0, 0)$.
• Так как $AD = 6$ см, координаты точки $A$: $A(0, 6, 0)$.

Прямая $DK$ перпендикулярна прямой $DA$ (оси $Oy$), значит, вектор $ \vec{DK} $ лежит в плоскости $Ox_z$. Угол $ \alpha = \angle KDC $ является углом между вектором $ \vec{DK} $ и положительным направлением оси $Ox$. Координаты точки $K$ можно выразить через длину отрезка $DK = 16$ см и угол $ \alpha $:

$ K(16\cos\alpha, 0, 16\sin\alpha) $.

Найдем координаты точки $M$. В прямоугольнике $AMKD$ выполняется векторное равенство $ \vec{DM} = \vec{DA} + \vec{DK} $.

$ \vec{DA} = (0, 6, 0) $

$ \vec{DK} = (16\cos\alpha, 0, 16\sin\alpha) $

Складывая векторы, получаем координаты точки $M$:

$ M(0+16\cos\alpha, 6+0, 0+16\sin\alpha) = M(16\cos\alpha, 6, 16\sin\alpha) $.

По условию задачи, расстояние между точками $M$ и $C$ равно 10 см ($MC = 10$). Воспользуемся формулой для квадрата расстояния между двумя точками:

$ MC^2 = (x_M - x_C)^2 + (y_M - y_C)^2 + (z_M - z_C)^2 $

Подставим известные значения и координаты:

$ 10^2 = (16\cos\alpha - 12)^2 + (6 - 0)^2 + (16\sin\alpha - 0)^2 $

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$ 100 = (256\cos^2\alpha - 2 \cdot 16\cos\alpha \cdot 12 + 144) + 36 + 256\sin^2\alpha $

$ 100 = 256\cos^2\alpha - 384\cos\alpha + 144 + 36 + 256\sin^2\alpha $

Сгруппируем слагаемые, используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $:

$ 100 = 256(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) - 384\cos\alpha + 180 $

$ 100 = 256 \cdot 1 - 384\cos\alpha + 180 $

$ 100 = 436 - 384\cos\alpha $

Теперь выразим $ \cos\alpha $:

$ 384\cos\alpha = 436 - 100 $

$ 384\cos\alpha = 336 $

$ \cos\alpha = \frac{336}{384} $

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 336 и 384 равен 48:

$ \cos\alpha = \frac{336 \div 48}{384 \div 48} = \frac{7}{8} $

Таким образом, косинус искомого угла равен $ \frac{7}{8} $, а сам угол $ \alpha $ равен арккосинусу этого значения.

Ответ: $ \arccos\left(\frac{7}{8}\right) $.