Номер 133, страница 52 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

133. В равнобокой трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) известно, что $\angle CAD = 45^\circ$, $O$ — точка пересечения диагоналей. Прямая $MO$ перпендикулярна плоскости трапеции. Докажите, что плоскости $AMC$ и $BMD$ перпендикулярны.

Для доказательства перпендикулярности плоскостей $AMC$ и $BMD$ воспользуемся признаком перпендикулярности двух плоскостей: если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Докажем, что прямая $AC$, лежащая в плоскости $AMC$, перпендикулярна плоскости $BMD$. Для этого нужно доказать, что прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $BMD$. Такими прямыми являются $BD$ и $MO$.

1. Докажем, что $AC \perp MO$.
По условию, прямая $MO$ перпендикулярна плоскости трапеции $ABCD$. Прямая $AC$ лежит в плоскости $ABCD$ и проходит через точку $O$. Следовательно, по определению перпендикулярности прямой и плоскости, $MO \perp AC$.

2. Докажем, что $AC \perp BD$.
Рассмотрим трапецию $ABCD$. Так как трапеция равнобокая, ее диагонали равны ($AC = BD$), а также равны углы при основаниях. Треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle BOC$ равнобедренные, так как $O$ — точка пересечения диагоналей равнобокой трапеции, следовательно $AO = DO$ и $BO = CO$.

В равнобокой трапеции углы, которые диагональ образует с основанием, равны. То есть, $\angle CAD = \angle BDA$.
По условию $\angle CAD = 45^{\circ}$, значит, и $\angle BDA = 45^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOD$. В нем $\angle OAD = \angle CAD = 45^{\circ}$ и $\angle ODA = \angle BDA = 45^{\circ}$.Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$, поэтому угол между диагоналями $\angle AOD$ равен:$\angle AOD = 180^{\circ} - (\angle OAD + \angle ODA) = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.

Это означает, что диагонали трапеции $AC$ и $BD$ пересекаются под прямым углом, то есть $AC \perp BD$.

3. Заключение.
Мы установили, что:
- $AC \perp MO$- $AC \perp BD$
Прямые $MO$ и $BD$ лежат в плоскости $BMD$ и пересекаются в точке $O$.
Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $BMD$.

Так как плоскость $AMC$ проходит через прямую $AC$, которая перпендикулярна плоскости $BMD$, то по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскость $AMC$ перпендикулярна плоскости $BMD$. Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.