Номер 128, страница 52 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

128. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $l$. Из точек $A$ и $B$, лежащих в плоскостях $\alpha$ и $\beta$ соответственно, проведены перпендикуляры $AM$ и $BN$ к прямой $l$. Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$, если $AM = 12$ см, $BN = 8\sqrt{3}$ см, $AN = 4\sqrt{10}$ см, $AB = 8$ см.

По определению, угол между двумя плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведенными к линии их пересечения из одной точки. В данной задаче перпендикуляры $AM$ и $BN$ проведены из разных точек $A$ и $B$ к разным точкам $M$ и $N$ на линии пересечения $l$. Обозначим искомый угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ как $\phi$.

1. Рассмотрим треугольник $AMN$. Так как точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$, а точки $M$ и $N$ лежат на прямой $l$, которая также принадлежит плоскости $\alpha$, то весь треугольник $AMN$ лежит в плоскости $\alpha$. По условию, $AM$ — перпендикуляр к прямой $l$. Поскольку точки $M$ и $N$ лежат на прямой $l$, отрезок $MN$ является частью этой прямой. Следовательно, $AM \perp MN$. Таким образом, треугольник $AMN$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $AMN$: $AN^2 = AM^2 + MN^2$

Подставим известные значения: $(4\sqrt{10})^2 = 12^2 + MN^2$ $16 \cdot 10 = 144 + MN^2$ $160 = 144 + MN^2$ $MN^2 = 160 - 144 = 16$ $MN = \sqrt{16} = 4$ см.

2. Теперь найдем угол $\phi$ между плоскостями. Для этого можно использовать пространственную теорему косинусов для отрезка $AB$, которая связывает его длину с проекциями на взаимно перпендикулярные направления. В нашем случае, квадрат расстояния между точками $A$ и $B$ можно выразить через длины перпендикуляров $AM$ и $BN$, расстояние $MN$ между их основаниями и угол $\phi$ между плоскостями: $AB^2 = MN^2 + (AM - BN\cos\phi)^2 + (BN\sin\phi)^2$

Раскроем скобки и упростим выражение: $AB^2 = MN^2 + AM^2 - 2 \cdot AM \cdot BN\cos\phi + BN^2\cos^2\phi + BN^2\sin^2\phi$ $AB^2 = MN^2 + AM^2 - 2 \cdot AM \cdot BN\cos\phi + BN^2(\cos^2\phi + \sin^2\phi)$ Так как $\cos^2\phi + \sin^2\phi = 1$, формула принимает вид: $AB^2 = AM^2 + BN^2 + MN^2 - 2 \cdot AM \cdot BN\cos\phi$

Подставим в эту формулу все известные нам значения: $8^2 = 12^2 + (8\sqrt{3})^2 + 4^2 - 2 \cdot 12 \cdot 8\sqrt{3} \cdot \cos\phi$ $64 = 144 + 64 \cdot 3 + 16 - 192\sqrt{3}\cos\phi$ $64 = 144 + 192 + 16 - 192\sqrt{3}\cos\phi$ $64 = 352 - 192\sqrt{3}\cos\phi$

Выразим из этого уравнения $\cos\phi$: $192\sqrt{3}\cos\phi = 352 - 64$ $192\sqrt{3}\cos\phi = 288$ $\cos\phi = \frac{288}{192\sqrt{3}}$

Сократим дробь. Оба числа, 288 и 192, делятся на 96 ($288 = 3 \cdot 96$, $192 = 2 \cdot 96$): $\cos\phi = \frac{3 \cdot 96}{2 \cdot 96 \cdot \sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\cos\phi = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, это $30^{\circ}$. $\phi = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^{\circ}$

Ответ: $30^{\circ}$.