Страница 57 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

165. Боковое ребро наклонной призмы образует с плоскостью основания угол $60^\circ$, а высота призмы равна 6 см. Найдите боковое ребро призмы.

Пусть $L$ - искомая длина бокового ребра наклонной призмы, $H$ - ее высота, а $\alpha$ - угол, который боковое ребро образует с плоскостью основания. Из условия задачи известно, что высота $H = 6$ см, а угол $\alpha = 60^\circ$.

Боковое ребро, высота призмы и проекция бокового ребра на плоскость основания образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике боковое ребро $L$ является гипотенузой, а высота $H$ — катетом, который противолежит углу $\alpha$.

По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, отношение противолежащего катета к гипотенузе равно синусу угла: $\sin(\alpha) = \frac{H}{L}$

Из этой формулы выразим длину бокового ребра $L$: $L = \frac{H}{\sin(\alpha)}$

Подставим известные значения $H=6$ и $\alpha = 60^\circ$ в полученную формулу: $L = \frac{6}{\sin(60^\circ)}$

Мы знаем, что значение синуса $60^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это значение и произведем вычисления: $L = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$: $L = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ (см).

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.

166. Расстояния между боковыми рёбрами наклонной треугольной призмы равны 5 см, 5 см и 6 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если её боковое ребро равно 13 см.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$, где $P_{\perp}$ — это периметр перпендикулярного сечения призмы, а $l$ — длина её бокового ребра.

Перпендикулярное сечение — это многоугольник, который образуется при пересечении призмы плоскостью, перпендикулярной её боковым рёбрам. В случае треугольной призмы перпендикулярным сечением является треугольник. Стороны этого треугольника равны расстояниям между боковыми рёбрами, так как боковые рёбра призмы параллельны друг другу.

По условию задачи, расстояния между боковыми рёбрами равны 5 см, 5 см и 6 см. Следовательно, стороны треугольника, являющегося перпендикулярным сечением, равны $a = 5$ см, $b = 5$ см, $c = 6$ см.

Найдем периметр этого треугольника (периметр перпендикулярного сечения):
$P_{\perp} = a + b + c = 5 + 5 + 6 = 16 \text{ см}$.

Длина бокового ребра призмы по условию равна $l = 13$ см.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности призмы, подставив найденные значения в формулу:
$S_{бок} = P_{\perp} \cdot l = 16 \cdot 13 = 208 \text{ см}^2$.

Ответ: $208 \text{ см}^2$.

167. В наклонной треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее боковое ребро удалено от двух других боковых рёбер на 5 см и 12 см. Найдите боковое ребро призмы, если площадь её боковой поверхности равна 240 $ \text{см}^2 $.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы ($S_{бок}$) находится по формуле: $S_{бок} = P_{\perp} \cdot L$, где $L$ – длина бокового ребра, а $P_{\perp}$ – периметр перпендикулярного сечения призмы.

Перпендикулярное сечение – это сечение призмы плоскостью, перпендикулярной ее боковым ребрам. В случае треугольной призмы перпендикулярным сечением является треугольник. Стороны этого треугольника равны расстояниям между боковыми ребрами.

По условию, две боковые грани призмы перпендикулярны. Угол между боковыми гранями призмы равен углу между соответствующими сторонами в перпендикулярном сечении. Это означает, что перпендикулярное сечение является прямоугольным треугольником.

Общее боковое ребро двух перпендикулярных граней соответствует вершине прямого угла в треугольнике перпендикулярного сечения. Расстояния от этого ребра до двух других боковых рёбер, которые по условию равны 5 см и 12 см, являются катетами этого прямоугольного треугольника. Обозначим их как $a = 5$ см и $b = 12$ см.

Для нахождения периметра перпендикулярного сечения сначала найдем длину его третьей стороны (гипотенузы $c$) по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

Теперь вычислим периметр перпендикулярного сечения $P_{\perp}$: $P_{\perp} = a + b + c = 5 + 12 + 13 = 30$ см.

Площадь боковой поверхности призмы дана в условии: $S_{бок} = 240$ см². Теперь мы можем найти длину бокового ребра $L$ из формулы для площади боковой поверхности: $L = \frac{S_{бок}}{P_{\perp}}$ $L = \frac{240}{30} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

168. Основанием наклонной призмы $ABCA_1B_1C_1$ является треугольник $ABC$, $AB = BC = 13$ см, $AC = 10$ см. Боковое ребро $BB_1$ образует с плоскостью основания угол $45^{\circ}$, а проекцией точки $B_1$ на плоскость $ABC$ является точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Найдите площадь грани $AA_1C_1C$.

Найдите площадь грани $AA_1C_1C$.

1. В основании наклонной призмы лежит равнобедренный треугольник $ABC$ со сторонами $AB = BC = 13$ см и основанием $AC = 10$ см. Проведем медиану $BM$ к стороне $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой, следовательно, $BM \perp AC$.

2. Точка $M$ — середина $AC$, поэтому $AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см. Из прямоугольного треугольника $ABM$ по теореме Пифагора найдем длину медианы $BM$:

$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

3. Проекцией точки $B_1$ на плоскость $ABC$ является точка $O$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$. Это означает, что перпендикуляр, опущенный из точки $B_1$ на плоскость основания, есть отрезок $B_1O$, который является высотой призмы $H$. Точка $O$ лежит на медиане $BM$ и делит ее в отношении 2:1, считая от вершины $B$. Найдем длину отрезка $BO$:

$BO = \frac{2}{3}BM = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ см.

4. Угол между боковым ребром $BB_1$ и плоскостью основания — это угол между наклонной $BB_1$ и ее проекцией $BO$ на эту плоскость. По условию, $\angle B_1BO = 45^\circ$. Треугольник $B_1BO$ является прямоугольным, так как $B_1O \perp (ABC)$. Поскольку один из острых углов равен $45^\circ$, то треугольник $B_1BO$ также и равнобедренный, откуда $B_1O = BO = 8$ см. Длину бокового ребра $BB_1$ найдем по теореме Пифагора:

$BB_1 = \sqrt{BO^2 + B_1O^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{2 \cdot 64} = 8\sqrt{2}$ см.

В призме все боковые ребра равны, значит $AA_1 = BB_1 = 8\sqrt{2}$ см.

5. Грань $AA_1C_1C$ — это параллелограмм со сторонами $AC=10$ см и $AA_1=8\sqrt{2}$ см. Для нахождения его площади определим, является ли он прямоугольником. Для этого нужно проверить, перпендикулярны ли его смежные стороны $AC$ и $AA_1$.

Ребро $AA_1$ параллельно ребру $BB_1$. Следовательно, достаточно проверить перпендикулярность $AC$ и $BB_1$. Применим теорему о трех перпендикулярах. $B_1O$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, $BO$ — проекция наклонной $BB_1$ на эту плоскость. Мы знаем, что $BM \perp AC$, а так как точка $O$ лежит на $BM$, то и проекция $BO$ перпендикулярна прямой $AC$. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной на плоскость перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Значит, $BB_1 \perp AC$.

Поскольку $AA_1 \parallel BB_1$ и $BB_1 \perp AC$, то и $AA_1 \perp AC$.

6. Так как смежные стороны параллелограмма $AA_1C_1C$ перпендикулярны, эта грань является прямоугольником. Ее площадь равна произведению длин сторон:

$S_{AA_1C_1C} = AC \cdot AA_1 = 10 \cdot 8\sqrt{2} = 80\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $80\sqrt{2}$ см$^2$.

169. Основанием призмы является правильный треугольник со стороной 6 см. Одна из боковых граней — квадрат, а две другие — параллелограммы с углом $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности призмы ($S_{бок}$) — это сумма площадей всех ее боковых граней. Поскольку в основании призмы лежит треугольник, у нее три боковые грани.

Из условия задачи нам известно:
- Основание призмы — правильный треугольник со стороной $a = 6$ см.
- Одна боковая грань — квадрат.
- Две другие боковые грани — параллелограммы с углом $30^\circ$.

1. Вычисление площади грани-квадрата
Сторонами боковой грани являются сторона основания призмы и ее боковое ребро. Так как грань является квадратом, ее стороны равны. Одна из сторон этого квадрата — сторона основания, равная 6 см. Следовательно, другая сторона квадрата, которая является боковым ребром призмы ($l$), также равна 6 см.
Площадь этой грани ($S_1$) составляет:
$S_1 = a \cdot l = 6 \cdot 6 = 36$ см$^2$.

2. Вычисление площади граней-параллелограммов
Две другие боковые грани — это параллелограммы. Их смежные стороны — это сторона основания ($a = 6$ см) и боковое ребро ($l = 6$ см), а угол между ними равен $30^\circ$.
Площадь параллелограмма ($S_2$) вычисляется по формуле: $S = ab \sin \alpha$.
$S_2 = a \cdot l \cdot \sin(30^\circ) = 6 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18$ см$^2$.
Так как таких граней две, их общая площадь равна:
$2 \cdot S_2 = 2 \cdot 18 = 36$ см$^2$.

3. Вычисление общей площади боковой поверхности
Чтобы найти площадь боковой поверхности призмы, сложим площади всех трех боковых граней:
$S_{бок} = S_1 + 2 \cdot S_2 = 36 + 36 = 72$ см$^2$.

Ответ: 72 см$^2$.

Параллелепипед

170. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 8 см и 15 см, а диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны $a = 8$ см и $b = 15$ см, а его высота равна $h$. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

$S_{полн} = 2(ab + ah + bh)$

Для вычисления площади необходимо найти высоту $h$.

По условию, диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Этот угол является углом между самой диагональю и её проекцией на плоскость основания. Проекцией диагонали параллелепипеда на плоскость основания является диагональ основания. Высота параллелепипеда $h$, диагональ основания $d$ и диагональ параллелепипеда образуют прямоугольный треугольник, где $h$ и $d$ — катеты.

1. Найдем длину диагонали основания $d$.

Основание параллелепипеда — это прямоугольник со сторонами $a=8$ см и $b=15$ см. По теореме Пифагора:

$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ см.

2. Найдем высоту параллелепипеда $h$.

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $h$, диагональю основания $d$ и диагональю параллелепипеда, угол между диагональю основания $d$ и диагональю параллелепипеда равен $60^\circ$. Тангенс этого угла равен отношению противолежащего катета ($h$) к прилежащему катету ($d$):

$\tan(60^\circ) = \frac{h}{d}$

Выразим отсюда высоту $h$:

$h = d \cdot \tan(60^\circ) = 17 \cdot \sqrt{3}$ см.

3. Вычислим площадь полной поверхности $S_{полн}$.

Подставим известные значения $a=8$, $b=15$ и $h=17\sqrt{3}$ в формулу площади полной поверхности:

$S_{полн} = 2(ab + ah + bh) = 2(8 \cdot 15 + 8 \cdot 17\sqrt{3} + 15 \cdot 17\sqrt{3})$

$S_{полн} = 2(120 + 136\sqrt{3} + 255\sqrt{3})$

$S_{полн} = 2(120 + (136 + 255)\sqrt{3})$

$S_{полн} = 2(120 + 391\sqrt{3})$

$S_{полн} = 240 + 782\sqrt{3}$ см².

Ответ: $240 + 782\sqrt{3}$ см².

171. Диагональ прямоугольного параллелепипеда больше сторон его основания на 3 см и на 2 см. Высота параллелепипеда равна $2\sqrt{2}$ см. Найдите диагональ параллелепипеда.

Пусть $d$ — искомая диагональ прямоугольного параллелепипеда, $a$ и $b$ — стороны его основания, а $c$ — его высота.

Согласно условию задачи:
Диагональ больше одной стороны основания на 3 см, значит, $a = d - 3$ см.
Диагональ больше другой стороны основания на 2 см, значит, $b = d - 2$ см.
Высота параллелепипеда $c = 2\sqrt{2}$ см.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты). Формула для вычисления диагонали:
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Подставим известные значения и выражения в эту формулу:
$d^2 = (d - 3)^2 + (d - 2)^2 + (2\sqrt{2})^2$

Теперь решим полученное уравнение. Раскроем скобки:
$d^2 = (d^2 - 6d + 9) + (d^2 - 4d + 4) + 8$

Приведем подобные слагаемые:
$d^2 = 2d^2 - 10d + 21$

Перенесем все члены в одну часть уравнения, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$0 = 2d^2 - d^2 - 10d + 21$
$d^2 - 10d + 21 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение — 21. Таким образом, корнями уравнения являются $d_1 = 3$ и $d_2 = 7$.

Проверим, подходят ли нам оба корня. Длины сторон параллелепипеда должны быть положительными числами.
1. Если $d = 3$ см, то длина стороны $a = d - 3 = 3 - 3 = 0$ см. Длина ребра не может быть равна нулю, поэтому этот корень не является решением задачи.
2. Если $d = 7$ см, то длины сторон основания равны $a = 7 - 3 = 4$ см и $b = 7 - 2 = 5$ см. Все размеры ($a=4$, $b=5$, $c=2\sqrt{2}$) положительны, что соответствует условию.

Следовательно, диагональ параллелепипеда равна 7 см.

Ответ: 7 см.

172. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда относятся как 1 : 2. Найдите высоту параллелепипеда, если площадь его полной поверхности равна $76 \text{ см}^2$, а площадь боковой поверхности — $60 \text{ см}^2$.

Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны $a$ и $b$, а высота равна $h$.По условию, стороны основания относятся как $1:2$, следовательно, можно записать $b = 2a$.

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

Нам известны $S_{полн} = 76 \text{ см}^2$ и $S_{бок} = 60 \text{ см}^2$. Найдем площадь основания:$76 = 2S_{осн} + 60$$2S_{осн} = 76 - 60$$2S_{осн} = 16$$S_{осн} = 8 \text{ см}^2$

Площадь основания (прямоугольника) равна произведению его сторон: $S_{осн} = a \cdot b$. Подставим сюда соотношение $b = 2a$:$S_{осн} = a \cdot (2a) = 2a^2$Так как $S_{осн} = 8 \text{ см}^2$, получаем уравнение:$2a^2 = 8$$a^2 = 4$$a = 2 \text{ см}$ (длина стороны не может быть отрицательной).

Теперь найдем вторую сторону основания:$b = 2a = 2 \cdot 2 = 4 \text{ см}$.

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания.Найдем периметр основания:$P_{осн} = 2(a + b) = 2(2 + 4) = 2 \cdot 6 = 12 \text{ см}$.

Теперь, зная площадь боковой поверхности и периметр основания, найдем высоту $h$:$h = \frac{S_{бок}}{P_{осн}} = \frac{60}{12} = 5 \text{ см}$.

Ответ: 5 см.