Страница 39 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

36. Постройте сечение пирамиды $SABC$ плоскостью, которая проходит через точки $D$ и $E$, принадлежащие соответственно рёбрам $AB$ и $BC$, и параллельна прямой $SA$.

Решение

Обозначим искомую секущую плоскость через $\alpha$. По условию, эта плоскость проходит через точки D и E, где $D \in AB$ и $E \in BC$, и параллельна прямой SA.

Построение сечения выполняется в несколько шагов:

1. Соединим точки D и E. Так как обе точки лежат в плоскости основания (ABC), то отрезок DE является следом секущей плоскости на плоскости основания и, следовательно, одной из сторон искомого сечения.

2. Построим линию пересечения секущей плоскости $\alpha$ с гранью (SAB). Плоскость (SAB) содержит прямую SA, которой по условию параллельна плоскость $\alpha$. Точка D принадлежит как секущей плоскости $\alpha$, так и грани (SAB), поскольку лежит на ребре AB. Согласно свойству, если плоскость ($\alpha$) проходит через прямую, не лежащую в другой плоскости ((SAB)), и параллельна некоторой прямой (SA) в этой плоскости, то линия пересечения этих плоскостей параллельна данной прямой (SA).

3. Проведем в плоскости грани (SAB) через точку D прямую, параллельную SA. Эта прямая пересечет ребро SB в некоторой точке F. Отрезок DF — вторая сторона искомого сечения. По построению $DF \parallel SA$.

4. Соединим точки E и F. Обе точки лежат в плоскости грани (SBC) ($E \in BC$, $F \in SB$), поэтому отрезок EF также принадлежит сечению и является его третьей стороной.

Таким образом, искомое сечение представляет собой треугольник DEF. Проверим выполнение условий: плоскость (DEF) проходит через точки D и E по построению. Также, поскольку прямая DF, лежащая в этой плоскости, параллельна прямой SA, то вся плоскость (DEF) параллельна прямой SA по признаку параллельности прямой и плоскости.

Ответ: Искомое сечение — треугольник DEF, где точка F является точкой пересечения ребра SB с прямой, проведенной в плоскости (SAB) через точку D параллельно прямой SA.

37. Постройте точку пересечения с плоскостью нижнего основания треугольной призмы прямой, проходящей через две точки, одна из которых принадлежит боковому ребру призмы, а другая — боковой грани, которой это ребро не принадлежит.

Для решения задачи введём обозначения. Пусть дана треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, где $ABC$ — нижнее основание. Согласно условию, заданы две точки: точка $M$, принадлежащая боковому ребру (для определённости, пусть $M \in AA_1$), и точка $N$, принадлежащая боковой грани, которой это ребро не принадлежит (соответственно, пусть $N \in (BB_1C_1C)$). Требуется построить точку $P$ — точку пересечения прямой $MN$ с плоскостью нижнего основания $(ABC)$.

Для нахождения точки пересечения прямой с плоскостью используется метод вспомогательной плоскости. Суть метода заключается в том, чтобы провести через заданную прямую ($MN$) вспомогательную плоскость ($\alpha$), найти линию её пересечения с заданной плоскостью ($(ABC)$), и затем найти точку пересечения исходной прямой с этой линией. Искомая точка $P$ будет результатом пересечения $P = MN \cap (ABC)$.

Построение выполняется следующим образом:
1. В качестве вспомогательной плоскости $\alpha$ выберем плоскость, проходящую через прямую $AA_1$ (на которой лежит точка $M$) и точку $N$. Обозначим эту плоскость как $\alpha=(AA_1, N)$. Прямая $MN$ целиком лежит в этой плоскости, так как обе точки $M$ и $N$ принадлежат $\alpha$ ($M \in AA_1 \subset \alpha$ и $N \in \alpha$).

2. Далее найдём линию пересечения (след) плоскости $\alpha$ с плоскостью нижнего основания $(ABC)$. Для этого достаточно найти две общие точки этих плоскостей.
• Первой общей точкой является точка $A$, так как она принадлежит прямой $AA_1$ (и, следовательно, плоскости $\alpha$) и одновременно является вершиной нижнего основания (то есть, $A \in (ABC)$).
• Для нахождения второй общей точки проведём в плоскости $\alpha$ прямую $n$ через точку $N$ параллельно прямой $AA_1$. Так как в призме все боковые рёбра параллельны ($AA_1 \parallel BB_1$), то прямая $n$ будет также параллельна $BB_1$ и, следовательно, будет полностью лежать в плоскости боковой грани $(BB_1C_1C)$.
• Найдём точку пересечения прямой $n$ с плоскостью $(ABC)$. Поскольку $n \subset (BB_1C_1C)$, эта точка пересечения должна лежать на линии пересечения плоскостей $(BB_1C_1C)$ и $(ABC)$, то есть на прямой $BC$. Обозначим эту точку $K$. Таким образом, $K = n \cap BC$.
• Точка $K$ принадлежит плоскости $\alpha$ (так как $K \in n \subset \alpha$) и плоскости $(ABC)$ (так как $K \in BC \subset (ABC)$). Следовательно, $K$ — вторая общая точка.
• Линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $(ABC)$ — это прямая, проходящая через точки $A$ и $K$. Обозначим её $s = AK$.

3. Наконец, найдём искомую точку $P$. Точка $P$ является точкой пересечения прямой $MN$ с плоскостью $(ABC)$. Так как $P \in (ABC)$ и $P \in MN \subset \alpha$, то точка $P$ должна лежать на линии пересечения этих плоскостей, то есть на прямой $s=AK$. Прямые $MN$ и $AK$ лежат в одной плоскости $\alpha$, поэтому для нахождения точки $P$ достаточно найти их точку пересечения.
Итак, искомая точка $P$ есть пересечение прямых $MN$ и $AK$: $P = MN \cap AK$.

Ответ: Искомая точка $P$ строится как точка пересечения прямой $MN$ и прямой $AK$, где точка $K$ является точкой пересечения прямой, проходящей через $N$ параллельно боковому ребру $AA_1$ (на котором лежит точка $M$), с прямой $BC$ (на которой лежит ребро основания грани, содержащей точку $N$).

38. Постройте точку пересечения с плоскостью нижнего основания четырёхугольной призмы прямой, проходящей через две точки, принадлежащие двум соседним боковым граням призмы.

Для построения искомой точки пересечения воспользуемся методом проекций. Пусть дана четырёхугольная призма $ABCDA'B'C'D'$, где $ABCD$ — плоскость нижнего основания. Точка $M$ принадлежит плоскости боковой грани $ABB'A'$, а точка $N$ — плоскости соседней боковой грани $BCC'B'$.

Алгоритм построения

1. Построим проекцию $M_1$ точки $M$ на прямую $AB$, лежащую в плоскости нижнего основания. Для этого через точку $M$ проведём прямую, параллельную боковому ребру призмы (например, ребру $AA'$ или $BB'$). Точка пересечения этой прямой с прямой $AB$ и будет точкой $M_1$.
2. Аналогичным образом построим проекцию $N_1$ точки $N$ на прямую $BC$. Проведём через точку $N$ прямую, параллельную боковому ребру (например, $BB'$ или $CC'$). Точка пересечения этой прямой с прямой $BC$ и будет точкой $N_1$.
3. Точки $M_1$ и $N_1$ лежат в плоскости нижнего основания $(ABCD)$. Проведём через них прямую $M_1N_1$. Эта прямая является проекцией прямой $MN$ на плоскость нижнего основания.
4. Проведём прямую $MN$ через заданные точки.
5. Найдём точку пересечения прямых $MN$ и $M_1N_1$. Обозначим эту точку $P$.

Точка $P$ является искомой точкой пересечения прямой $MN$ с плоскостью нижнего основания призмы.

Обоснование

Построение основано на методе вспомогательной секущей плоскости. Прямые $MM_1$ и $NN_1$ параллельны друг другу по построению, так как они обе параллельны боковым рёбрам призмы. Две параллельные прямые задают плоскость, назовём её $\sigma$.
Искомая прямая $MN$ лежит в плоскости $\sigma$ (так как точки $M$ и $N$ принадлежат $\sigma$).
Проекция $M_1N_1$ также лежит в плоскости $\sigma$ (так как точки $M_1$ и $N_1$ принадлежат $\sigma$).
Искомая точка пересечения $P$ по определению принадлежит как прямой $MN$, так и плоскости нижнего основания $(ABCD)$.
Поскольку $P \in MN$ и $MN \subset \sigma$, то точка $P$ принадлежит и плоскости $\sigma$.
Таким образом, точка $P$ принадлежит обеим плоскостям: $\sigma$ и $(ABCD)$, а значит, лежит на линии их пересечения. Линией пересечения этих плоскостей является прямая $M_1N_1$, так как точки $M_1$ и $N_1$ по построению лежат в обеих плоскостях.
Следовательно, искомая точка $P$ является общей точкой для прямых $MN$ и $M_1N_1$, то есть их точкой пересечения: $P = MN \cap M_1N_1$. Построение верно.

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения прямой, проходящей через данные точки $M$ и $N$, и прямой, проходящей через проекции этих точек на плоскость нижнего основания. Алгоритм построения искомой точки $P$: 1. Найти точку $M_1$ как пересечение прямой, содержащей ребро нижнего основания грани, которой принадлежит $M$, с прямой, проходящей через $M$ параллельно боковому ребру призмы. 2. Аналогично найти точку $N_1$ на ребре нижнего основания грани, которой принадлежит $N$. 3. Провести прямую $M_1N_1$, лежащую в плоскости основания. 4. Провести прямую $MN$. 5. Искомая точка $P$ есть точка пересечения прямых $MN$ и $M_1N_1$.

Параллельность плоскостей

39. Стороны $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ параллельны плоскости $\alpha$. Докажите, что прямая $AB$ параллельна плоскости $\alpha$.

Пусть плоскость треугольника $ABC$ будет плоскостью $\beta$. По условию задачи, стороны $AC$ и $BC$ этого треугольника параллельны плоскости $\alpha$. Это означает, что $AC \parallel \alpha$ и $BC \parallel \alpha$.

Прямые $AC$ и $BC$ пересекаются в точке $C$ и лежат в плоскости $\beta$. Согласно признаку параллельности плоскостей, если две пересекающиеся прямые одной плоскости (в данном случае $AC$ и $BC$ в плоскости $\beta$) параллельны другой плоскости (плоскости $\alpha$), то эти плоскости параллельны. Следовательно, плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$, то есть $\beta \parallel \alpha$.

Сторона $AB$ треугольника $ABC$ принадлежит плоскости этого треугольника, то есть прямая $AB$ лежит в плоскости $\beta$ ($AB \subset \beta$). Поскольку плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$, они не имеют общих точек. Это означает, что любая прямая, лежащая в плоскости $\beta$, не может пересекать плоскость $\alpha$. Таким образом, прямая $AB$ не имеет общих точек с плоскостью $\alpha$.

По определению, если прямая и плоскость не имеют общих точек, то они параллельны. Следовательно, прямая $AB$ параллельна плоскости $\alpha$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямая $AB$ параллельна плоскости $\alpha$.

40. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. В плоскости $\alpha$ выбраны точки $C$ и $D$, а в плоскости $\beta$ — точки $C_1$ и $D_1$ такие, что прямые $CC_1$ и $DD_1$ параллельны. Найдите отрезки $CC_1$ и $CD$, если $DD_1 = 12$ см, $C_1D_1 = 17$ см.

По условию задачи даны две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ ($\alpha \parallel \beta$). Точки $C, D$ лежат в плоскости $\alpha$, а точки $C_1, D_1$ — в плоскости $\beta$. Также известно, что прямые $CC_1$ и $DD_1$ параллельны ($CC_1 \parallel DD_1$).

Рассмотрим четырехугольник $CC_1D_1D$.

1. Поскольку прямые $CC_1$ и $DD_1$ параллельны, через них можно провести единственную плоскость. Назовем эту плоскость $\gamma$. Таким образом, все четыре точки $C, C_1, D_1, D$ лежат в одной плоскости $\gamma$.

2. Плоскость $\gamma$ пересекает две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$. По свойству параллельных плоскостей, если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. Линией пересечения плоскости $\gamma$ и плоскости $\alpha$ является прямая $CD$. Линией пересечения плоскости $\gamma$ и плоскости $\beta$ является прямая $C_1D_1$. Следовательно, прямые $CD$ и $C_1D_1$ параллельны ($CD \parallel C_1D_1$).

3. В четырехугольнике $CC_1D_1D$, лежащем в плоскости $\gamma$, противолежащие стороны попарно параллельны:

• $CC_1 \parallel DD_1$ (по условию задачи).
• $CD \parallel C_1D_1$ (как доказано выше).

Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Значит, $CC_1D_1D$ — это параллелограмм.

4. В параллелограмме противолежащие стороны равны. Отсюда следует, что $CC_1 = DD_1$ и $CD = C_1D_1$.

Теперь, используя данные из условия, найдем искомые длины отрезков.

Нахождение отрезка $CC_1$

Из свойства параллелограмма следует, что $CC_1 = DD_1$. По условию, длина отрезка $DD_1$ равна 12 см.

Следовательно, $CC_1 = 12$ см.

Ответ: $CC_1 = 12$ см.

Нахождение отрезка $CD$

Из свойства параллелограмма следует, что $CD = C_1D_1$. По условию, длина отрезка $C_1D_1$ равна 17 см.

Следовательно, $CD = 17$ см.

Ответ: $CD = 17$ см.

41. Плоскости $ \alpha $ и $ \beta $ параллельны, $ M \in \alpha $, $ N \in \alpha $, $ P \in \beta $, $ K \in \beta $, $ MP \parallel NK $, $ MP = 5 $ см, $ MN = 8 $ см, $ \angle MNK = 120^\circ $. Найдите отрезок $ MK $.

Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$), а отрезки $MP$ и $NK$ параллельны ($MP \parallel NK$) и соединяют эти плоскости (так как $M, N \in \alpha$ и $P, K \in \beta$), то эти отрезки равны по длине. Это свойство параллельных отрезков, заключенных между параллельными плоскостями.

Таким образом, $NK = MP$.

По условию задачи $MP = 5$ см, следовательно, $NK = 5$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle MNK$. Нам известны длины двух его сторон и угол между ними:

• $MN = 8$ см (по условию)
• $NK = 5$ см (как мы выяснили выше)
• $\angle MNK = 120^{\circ}$ (по условию)

Для нахождения длины третьей стороны $MK$ воспользуемся теоремой косинусов:

$MK^2 = MN^2 + NK^2 - 2 \cdot MN \cdot NK \cdot \cos(\angle MNK)$

Подставим известные значения в формулу:

$MK^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos(120^{\circ})$

Значение косинуса $120^{\circ}$ равно $-\frac{1}{2}$:

$\cos(120^{\circ}) = \cos(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\cos(60^{\circ}) = -\frac{1}{2}$

Продолжим вычисления:

$MK^2 = 64 + 25 - 80 \cdot (-\frac{1}{2})$

$MK^2 = 89 + 40$

$MK^2 = 129$

Теперь найдем длину отрезка $MK$, извлекая квадратный корень:

$MK = \sqrt{129}$ см.

Ответ: $MK = \sqrt{129}$ см.

42. Диагонали трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) параллельны плоскости $\beta$. Через точки $B$ и $C$ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость $\beta$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник $BB_1C_1C$ — параллелограмм.

Для доказательства того, что четырёхугольник $BB_1C_1C$ является параллелограммом, мы докажем, что у него есть пара противоположных сторон, которые равны и параллельны.

1. Пусть плоскость трапеции $ABCD$ называется $\alpha$. Диагонали трапеции $AC$ и $BD$ являются пересекающимися прямыми, которые лежат в плоскости $\alpha$. По условию задачи, эти диагонали параллельны плоскости $\beta$, то есть $AC \parallel \beta$ и $BD \parallel \beta$.

   Применим признак параллельности двух плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны. В нашем случае прямые $AC$ и $BD$ лежат в плоскости $\alpha$, пересекаются и параллельны плоскости $\beta$. Следовательно, плоскость трапеции $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$: $\alpha \parallel \beta$.

2. По условию, через точки $B$ и $C$ проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость $\beta$ в точках $B_1$ и $C_1$. Это означает, что отрезки $BB_1$ и $CC_1$ лежат на параллельных прямых. Таким образом, одна пара противоположных сторон четырёхугольника $BB_1C_1C$ параллельна: $BB_1 \parallel CC_1$.

3. Точки $B$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$, а точки $B_1$ и $C_1$ лежат в плоскости $\beta$. Мы доказали, что $\alpha \parallel \beta$. Отрезки $BB_1$ и $CC_1$ являются отрезками параллельных прямых, заключёнными между двумя параллельными плоскостями. По свойству параллельных плоскостей, отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны. Следовательно, $BB_1 = CC_1$.

4. Таким образом, в четырёхугольнике $BB_1C_1C$ противоположные стороны $BB_1$ и $CC_1$ одновременно и параллельны ($BB_1 \parallel CC_1$) и равны по длине ($BB_1 = CC_1$).

   По признаку параллелограмма, если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник является параллелограммом. Следовательно, $BB_1C_1C$ — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырёхугольник $BB_1C_1C$ является параллелограммом, так как его противоположные стороны $BB_1$ и $CC_1$ равны и параллельны.

43. Сторона $BC$ треугольника $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$. Плоскость $\beta$, параллельная плоскости $\alpha$, пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно. Найдите отрезок $BC$, если $B_1C_1 = 12$ см, $AC_1 : C_1C = 3 : 5$.

По условию, сторона $BC$ треугольника $ABC$ лежит в плоскости $\alpha$, а плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\alpha$. Плоскость $\beta$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $B_1$ и $C_1$ соответственно.

Плоскость, в которой лежит треугольник $ABC$, является секущей для двух параллельных плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Согласно свойству параллельных плоскостей, линии пересечения секущей плоскости с параллельными плоскостями параллельны между собой. Следовательно, прямая $B_1C_1$, по которой плоскость $\beta$ пересекает плоскость треугольника, параллельна прямой $BC$, по которой плоскость $\alpha$ пересекает плоскость треугольника. Таким образом, $B_1C_1 \parallel BC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AB_1C_1$ и $\triangle ABC$. Поскольку отрезок $B_1C_1$ параллелен стороне $BC$, эти треугольники подобны по двум углам:
1. Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников.
2. Углы $\angle AC_1B_1$ и $\angle ACB$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $B_1C_1$ и $BC$ и секущей $AC$.

Из подобия треугольников ($\triangle AB_1C_1 \sim \triangle ABC$) следует пропорциональность их соответственных сторон: $$ \frac{AC_1}{AC} = \frac{B_1C_1}{BC} $$

По условию задачи дано отношение $AC_1 : C_1C = 3 : 5$. Пусть $AC_1 = 3x$, а $C_1C = 5x$ для некоторого коэффициента пропорциональности $x > 0$. Тогда длина всей стороны $AC$ будет равна сумме длин её частей: $$ AC = AC_1 + C_1C = 3x + 5x = 8x $$

Теперь мы можем найти отношение длин сторон $AC_1$ и $AC$, которое является коэффициентом подобия треугольников: $$ \frac{AC_1}{AC} = \frac{3x}{8x} = \frac{3}{8} $$

Подставим известные значения в пропорцию. Нам дано, что $B_1C_1 = 12$ см. $$ \frac{3}{8} = \frac{12}{BC} $$

Выразим и найдем из этой пропорции длину отрезка $BC$: $$ BC = \frac{12 \cdot 8}{3} = 4 \cdot 8 = 32 \text{ см} $$

Ответ: 32 см.

44. Плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$ и прямой $a$, не лежащей в плоскости $\beta$. Докажите, что прямая $a$ параллельна плоскости $\beta$.

Дано:

Плоскость $α$ параллельна плоскости $β$ ($α \parallel β$).

Прямая $a$ параллельна плоскости $α$ ($a \parallel α$).

Прямая $a$ не лежит в плоскости $β$ ($a \not\subset β$).

Доказать:

Прямая $a$ параллельна плоскости $β$ ($a \parallel β$).

Доказательство:

Для доказательства воспользуемся методом от противного. Предположим, что прямая $a$ не параллельна плоскости $β$. Так как по условию прямая $a$ не лежит в плоскости $β$, то из нашего предположения следует, что она должна пересекать плоскость $β$ в некоторой точке. Обозначим эту точку пересечения $M$. Таким образом, мы предполагаем, что $a \cap β = \{M\}$.

1. Поскольку прямая $a$ параллельна плоскости $α$ ($a \parallel α$), это означает, что в плоскости $α$ существует прямая, параллельная прямой $a$. Выберем в плоскости $α$ произвольную точку $P$ и проведем через нее прямую $a'$, параллельную прямой $a$. Такая прямая $a'$ будет полностью лежать в плоскости $α$ ($a' \subset α$).

2. Так как мы имеем две параллельные прямые $a$ и $a'$, то через них можно провести единственную плоскость. Обозначим эту плоскость $γ$. Таким образом, прямые $a$ и $a'$ лежат в плоскости $γ$ ($a \subset γ$ и $a' \subset γ$).

3. Рассмотрим пересечение плоскости $γ$ с плоскостями $α$ и $β$.

   • Плоскость $γ$ пересекает плоскость $α$ по прямой $a'$ (так как по построению $a' \subset γ$ и $a' \subset α$).
   • Плоскость $γ$ пересекает плоскость $β$. Это следует из нашего предположения, что точка $M$ принадлежит прямой $a$ (а значит и плоскости $γ$) и одновременно плоскости $β$. Следовательно, плоскости $γ$ и $β$ имеют общую точку $M$ и пересекаются по некоторой прямой. Обозначим эту прямую $b$. Таким образом, $b = γ \cap β$.

4. По условию задачи плоскости $α$ и $β$ параллельны ($α \parallel β$). По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей, линии их пересечения параллельны. В нашем случае плоскость $γ$ пересекает параллельные плоскости $α$ и $β$ по прямым $a'$ и $b$ соответственно. Отсюда следует, что $a' \parallel b$.

5. Теперь рассмотрим взаимосвязь прямых $a$, $a'$ и $b$:

   • $a \parallel a'$ (по построению в шаге 1).
   • $a' \parallel b$ (доказано в шаге 4).

   Из этих двух утверждений, по свойству транзитивности параллельности прямых в пространстве, следует, что $a \parallel b$.

6. Теперь вернемся к точке $M$. По нашему исходному предположению, $M$ – это точка пересечения прямой $a$ и плоскости $β$.

   • Из $M = a \cap β$ следует, что $M \in a$ и $M \in β$.
   • Так как $a \subset γ$, то из $M \in a$ следует, что $M \in γ$.

   Мы получили, что точка $M$ принадлежит и плоскости $γ$, и плоскости $β$. Это означает, что точка $M$ должна лежать на линии их пересечения, то есть на прямой $b$. Итак, $M \in b$.

7. В итоге мы пришли к следующему: точка $M$ принадлежит как прямой $a$, так и прямой $b$. Это означает, что прямые $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$. Однако в шаге 5 мы строго доказали, что $a \parallel b$. Параллельные прямые могут иметь общую точку только в том случае, если они совпадают. Но прямые $a$ и $b$ не могут совпадать, так как $b \subset β$, а по условию задачи $a \not\subset β$.

Таким образом, мы пришли к противоречию: различные параллельные прямые $a$ и $b$ не могут пересекаться. Это противоречие является следствием нашего первоначального предположения о том, что прямая $a$ пересекает плоскость $β$.

Следовательно, это предположение неверно. Прямая $a$ не пересекает плоскость $β$. А так как по условию она и не лежит в этой плоскости, то ей остается быть только параллельной плоскости $β$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что прямая $a$ параллельна плоскости $β$, доказано.