Страница 32 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

213. В правильной усечённой треугольной пирамиде стороны оснований равны 18 см и 36 см, а её высота — 3 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).

В основаниях лежат правильные треугольники со сторонами $a_1 = 36$ см и $a_2 = 18$ см. Сначала найдём их периметры:

Периметр нижнего основания: $P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 36 = 108$ см.

Периметр верхнего основания: $P_2 = 3 \cdot a_2 = 3 \cdot 18 = 54$ см.

Далее необходимо найти апофему усечённой пирамиды $h_a$. Для этого рассмотрим осевое сечение, проходящее через апофемы оснований. В этом сечении образуется прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота усечённой пирамиды $H$ и разность радиусов окружностей, вписанных в основания ($r_1 - r_2$), а гипотенузой — апофема $h_a$. Таким образом, по теореме Пифагора: $h_a^2 = H^2 + (r_1 - r_2)^2$.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Вычислим радиусы для оснований:

Радиус вписанной окружности нижнего основания: $r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{36}{2\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}$ см.

Радиус вписанной окружности верхнего основания: $r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь найдём апофему $h_a$, используя высоту пирамиды $H = 3$ см:

$h_a = \sqrt{H^2 + (r_1 - r_2)^2} = \sqrt{3^2 + (6\sqrt{3} - 3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6$ см.

Наконец, подставим все найденные значения в формулу для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2}(108 + 54) \cdot 6 = \frac{1}{2} \cdot 162 \cdot 6 = 81 \cdot 6 = 486$ см².

Ответ: 486 см².

214. Основания усечённой пирамиды $ABCDA_1B_1C_1D_1$ являются квадратами, $AD = 15$ см, $A_1D_1 = 3$ см. Боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания, а двугранные углы усечённой пирамиды при рёбрах $AD$ и $CD$ равны. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды, если $BB_1 = 9$ см.

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна сумме площадей ее боковых граней. Боковыми гранями являются четыре трапеции: $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $CDD_1C_1$ и $DAA_1D_1$.

1. Найдем площади граней $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$.

По условию, боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Это означает, что $BB_1$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $B$. Следовательно, $BB_1 \perp AB$ и $BB_1 \perp BC$.

Поскольку основания усеченной пирамиды параллельны, ребро $BB_1$ также перпендикулярно плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1$. Следовательно, $BB_1 \perp A_1B_1$ и $BB_1 \perp B_1C_1$.

Из этого следует, что грани $ABB_1A_1$ и $BCC_1B_1$ являются прямоугольными трапециями, у которых ребро $BB_1$ является высотой.

Основания трапеции $ABB_1A_1$ — это стороны квадратов $AB = 15$ см и $A_1B_1 = 3$ см. Высота $BB_1 = 9$ см.

Площадь грани $ABB_1A_1$ равна:

$S_{ABB_1A_1} = \frac{AB + A_1B_1}{2} \cdot BB_1 = \frac{15 + 3}{2} \cdot 9 = \frac{18}{2} \cdot 9 = 9 \cdot 9 = 81$ см².

Основания трапеции $BCC_1B_1$ — это стороны квадратов $BC = 15$ см и $B_1C_1 = 3$ см. Высота $BB_1 = 9$ см.

Площадь грани $BCC_1B_1$ равна:

$S_{BCC_1B_1} = \frac{BC + B_1C_1}{2} \cdot BB_1 = \frac{15 + 3}{2} \cdot 9 = 9 \cdot 9 = 81$ см².

2. Найдем площади граней $CDD_1C_1$ и $DAA_1D_1$.

Для нахождения площадей этих трапеций нужно определить их высоты.

Рассмотрим ортогональную проекцию верхнего основания на плоскость нижнего. Пусть $A'$, $B'$, $C'$, $D'$ — проекции вершин $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ соответственно. Так как $BB_1 \perp (ABCD)$, то проекция точки $B_1$ совпадает с точкой $B$. Проекцией верхнего квадрата $A_1B_1C_1D_1$ будет равный ему квадрат $A'BC'D'$ со стороной 3 см.

Условие равенства двугранных углов при ребрах $AD$ и $CD$ означает, что "наклон" граней $DAA_1D_1$ и $CDD_1C_1$ к плоскости основания одинаков. Это возможно, когда проекция $A'BC'D'$ расположена симметрично относительно диагонали $BD$ квадрата $ABCD$. Таким образом, стороны $A'B$ и $C'B$ проекции лежат на сторонах $AB$ и $CB$ нижнего основания.

Точка $A'$ лежит на отрезке $AB$, и $A'B = 3$ см. Тогда $AA' = AB - A'B = 15 - 3 = 12$ см.

Точка $C'$ лежит на отрезке $BC$, и $C'B = 3$ см. Тогда $CC' = BC - C'B = 15 - 3 = 12$ см.

Рассмотрим боковое ребро $AA_1$. Отрезок $A_1A'$ является перпендикуляром из точки $A_1$ к плоскости основания, поэтому его длина равна высоте усеченной пирамиды, $A_1A' = BB_1 = 9$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA'A_1$ (угол $AA'A_1 = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдем длину ребра $AA_1$:

$AA_1 = \sqrt{(AA')^2 + (A_1A')^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ см.

Аналогично для ребра $CC_1$: $C_1C' = 9$ см, $CC'=12$ см. Из прямоугольного треугольника $CC'C_1$:

$CC_1 = \sqrt{(CC')^2 + (C_1C')^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = 15$ см.

Теперь докажем, что грань $DAA_1D_1$ является прямоугольной трапецией. Прямая $AD$ перпендикулярна $AB$ (так как $ABCD$ — квадрат). Проекция $A'$ лежит на $AB$, значит $AD \perp AA'$. Кроме того, $A_1A'$ перпендикулярна плоскости основания, а значит и прямой $AD$, лежащей в этой плоскости ($A_1A' \perp AD$). Так как прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AA'$ и $A_1A'$ в плоскости $AA_1A'$, то она перпендикулярна всей этой плоскости, а значит и любой прямой в ней, в том числе и $AA_1$. Таким образом, $AA_1 \perp AD$. Это означает, что $DAA_1D_1$ — прямоугольная трапеция с высотой $AA_1$.

Площадь грани $DAA_1D_1$ равна:

$S_{DAA_1D_1} = \frac{AD + A_1D_1}{2} \cdot AA_1 = \frac{15 + 3}{2} \cdot 15 = 9 \cdot 15 = 135$ см².

Аналогично для грани $CDD_1C_1$: $CD \perp BC$, значит $CD \perp CC'$. $C_1C' \perp (ABCD)$, значит $C_1C' \perp CD$. Следовательно, $CD$ перпендикулярна плоскости $CC_1C'$, и $CD \perp CC_1$. Грань $CDD_1C_1$ — прямоугольная трапеция с высотой $CC_1$.

Площадь грани $CDD_1C_1$ равна:

$S_{CDD_1C_1} = \frac{CD + C_1D_1}{2} \cdot CC_1 = \frac{15 + 3}{2} \cdot 15 = 9 \cdot 15 = 135$ см².

3. Найдем площадь боковой поверхности.

Суммируем площади всех боковых граней:

$S_{бок} = S_{ABB_1A_1} + S_{BCC_1B_1} + S_{CDD_1C_1} + S_{DAA_1D_1}$

$S_{бок} = 81 + 81 + 135 + 135 = 162 + 270 = 432$ см².

Ответ: 432 см².