Страница 26 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

160. Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник с боковой стороной 8 см и углом $120^\circ$ при вершине. Угол между диагоналями равных боковых граней, которые проведены из одной вершины основания, равен $90^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пусть дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$, в основании которой лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB = AC = 8$ см и углом при вершине $\angle BAC = 120^\circ$.

Нахождение третьей стороны основания

Найдем длину основания $BC$ треугольника $ABC$, используя теорему косинусов:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$

Подставим известные значения:

$BC^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ)$

$BC^2 = 64 + 64 - 128 \cdot (-\frac{1}{2})$

$BC^2 = 128 + 64 = 192$

$BC = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Нахождение высоты призмы

Поскольку призма прямая, ее боковые грани являются прямоугольниками. Так как в основании $AB = AC$, то боковые грани $ABB_1A_1$ и $ACC_1A_1$ равны. Диагонали этих граней, проведенные из одной вершины основания (например, из вершины $A$), будут равны: $AB_1 = AC_1$. По условию, угол между этими диагоналями равен $90^\circ$, то есть $\angle B_1AC_1 = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $B_1AC_1$ является прямоугольным и равнобедренным. Сторона $B_1C_1$ этого треугольника является стороной верхнего основания призмы, поэтому $B_1C_1 = BC = 8\sqrt{3}$ см.

Пусть высота призмы $H = AA_1$. Из прямоугольного треугольника $AA_1B_1$ по теореме Пифагора найдем квадрат длины диагонали $AB_1$:

$AB_1^2 = AA_1^2 + A_1B_1^2 = H^2 + 8^2 = H^2 + 64$.

Теперь применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $B_1AC_1$:

$B_1C_1^2 = AB_1^2 + AC_1^2$

Так как $AB_1 = AC_1$, получаем:

$(8\sqrt{3})^2 = (H^2 + 64) + (H^2 + 64)$

$192 = 2(H^2 + 64)$

$96 = H^2 + 64$

$H^2 = 96 - 64 = 32$

$H = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Нахождение площади боковой поверхности призмы

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $H$ — высота призмы.

Найдем периметр основания:

$P_{осн} = AB + AC + BC = 8 + 8 + 8\sqrt{3} = 16 + 8\sqrt{3}$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = (16 + 8\sqrt{3}) \cdot 4\sqrt{2}$

$S_{бок} = 16 \cdot 4\sqrt{2} + 8\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{2} = 64\sqrt{2} + 32\sqrt{6}$ см$^2$.

Можно также вынести общий множитель за скобки:

$S_{бок} = 32\sqrt{2}(2 + \sqrt{3})$ см$^2$.

Ответ: $64\sqrt{2} + 32\sqrt{6}$ см$^2$.

161. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 8 см, а острый угол — $30^\circ$. Через катет треугольника, лежащий против угла $30^\circ$, проведена плоскость, пересекающая боковое ребро. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы, если угол между плоскостью её основания и плоскостью сечения равен $60^\circ$.

Пусть дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$, основанием которой является прямоугольный треугольник $ABC$. По условию, гипотенуза $AB = 8$ см, а один из острых углов равен $30°$. Пусть $\angle B = 30°$, тогда $\angle C = 90°$.

Найдем катеты треугольника $ABC$. Катет $AC$, лежащий против угла в $30°$, равен половине гипотенузы:
$AC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

Второй катет $BC$ найдем через косинус угла $B$:
$BC = AB \cdot \cos(30°) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Площадь основания призмы (треугольника $ABC$) равна половине произведения катетов:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см².

По условию, через катет, лежащий против угла $30°$ (то есть через катет $AC$), проведена плоскость, пересекающая боковое ребро (пусть это будет ребро $BB_1$ в точке $D$). Образовавшееся сечение — это треугольник $ADC$.

Поскольку призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны основанию. Это означает, что треугольник $ABC$ является ортогональной проекцией сечения (треугольника $ADC$) на плоскость основания.

Площадь ортогональной проекции фигуры ($S_{пр}$) связана с площадью самой фигуры ($S_{сеч}$) через косинус угла ($\alpha$) между их плоскостями по формуле:
$S_{пр} = S_{сеч} \cdot \cos(\alpha)$.

В нашем случае $S_{пр} = S_{ABC}$, $S_{сеч} = S_{ADC}$, а угол между плоскостью основания и плоскостью сечения по условию равен $\alpha = 60°$.

Отсюда мы можем выразить и найти площадь сечения $S_{ADC}$:
$S_{ADC} = \frac{S_{ABC}}{\cos(60°)}$.

Подставим известные значения:
$S_{ADC} = \frac{8\sqrt{3}}{1/2} = 8\sqrt{3} \cdot 2 = 16\sqrt{3}$ см².

Ответ: $16\sqrt{3}$ см².

162. Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 4 см, а её высота — 8 см. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через диагональ основания параллельно диагонали призмы.

Пусть дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Основание призмы $ABCD$ — это квадрат со стороной $a = 4$ см. Высота призмы $H = AA_1 = 8$ см.

Необходимо найти площадь сечения, которое проходит через диагональ основания, например $BD$, и параллельно диагонали призмы, которая не пересекает $BD$. Такой диагональю является, например, $A_1C$ (другой вариант — $AC_1$, оба приводят к одинаковому результату из-за симметрии).

Построение сечения

Пусть $\alpha$ — плоскость искомого сечения. По условию, прямая $BD$ лежит в плоскости $\alpha$, и плоскость $\alpha$ параллельна прямой $A_1C$.

Рассмотрим диагональную плоскость $AA_1C_1C$. В этой плоскости лежат диагональ призмы $A_1C$ и диагональ основания $AC$. Точка $O$ — точка пересечения диагоналей основания $AC$ и $BD$.

Так как прямая $BD$ лежит в сечении, а точка $O$ лежит на $BD$, то точка $O$ принадлежит плоскости сечения. Плоскость сечения $\alpha$ пересекается с плоскостью $AA_1C_1C$ по некоторой прямой. Эта прямая проходит через их общую точку $O$.

По свойству параллельности прямой и плоскости: если плоскость ($\alpha$) параллельна некоторой прямой ($A_1C$), то линия пересечения этой плоскости с любой другой плоскостью ($AA_1C_1C$), содержащей данную прямую, будет параллельна этой прямой.

Следовательно, линия пересечения плоскости сечения $\alpha$ и плоскости $AA_1C_1C$ проходит через точку $O$ и параллельна прямой $A_1C$.

Рассмотрим треугольник $AA_1C$. В нём точка $O$ является серединой стороны $AC$. Прямая, проходящая через середину стороны треугольника параллельно другой стороне, является средней линией. Значит, эта линия пересекает сторону $AA_1$ в её середине. Обозначим эту точку $L$.

Таким образом, точка $L$ — середина ребра $AA_1$ — принадлежит плоскости сечения. Сечение проходит через три точки: $B$, $D$ и $L$. Отрезки $BD$, $DL$ и $LB$ лежат на гранях призмы (на основании $ABCD$ и боковых гранях $ADD_1A_1$ и $ABB_1A_1$ соответственно). Следовательно, искомое сечение — это треугольник $BDL$.

Нахождение площади сечения

Для нахождения площади сечения вычислим длины сторон треугольника $BDL$.

1. Сторона $BD$ является диагональю квадрата $ABCD$ со стороной $a=4$ см. По теореме Пифагора: $BD = \sqrt{AD^2 + AB^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.

2. Сторона $DL$. Точка $L$ — середина ребра $AA_1$, длина которого равна высоте $H=8$ см. Значит, $AL = \frac{1}{2} H = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см. Так как призма правильная, боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно основанию, а значит и ребру $AD$. Таким образом, треугольник $ADL$ — прямоугольный. По теореме Пифагора: $DL = \sqrt{AD^2 + AL^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.

3. Сторона $BL$. Аналогично, треугольник $ABL$ — прямоугольный ($AA_1 \perp AB$). $AB=4$ см, $AL=4$ см. По теореме Пифагора: $BL = \sqrt{AB^2 + AL^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.

Все стороны треугольника $BDL$ равны $4\sqrt{2}$ см. Это означает, что сечение является равносторонним треугольником.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$. Подставим в формулу значение стороны $s = 4\sqrt{2}$ см: $S_{BDL} = \frac{(4\sqrt{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{32\sqrt{3}}{4} = 8\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $8\sqrt{3}$ см$^2$.

163. Сторона основания правильной треугольной призмы равна $a$. Через сторону основания призмы проведена плоскость, пересекающая боковое ребро призмы в его середине и образующая с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Основанием призмы является правильный треугольник $ABC$ со стороной $a$. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ правильной призмы вычисляется как произведение периметра основания $P_{осн}$ на высоту призмы $H$: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$.

Периметр основания, являющегося равносторонним треугольником со стороной $a$, равен $P_{осн} = 3a$. Высота призмы $H$ равна длине любого бокового ребра, например, $H = BB_1$. Для нахождения площади боковой поверхности необходимо найти высоту $H$.

По условию, через сторону основания, например $AC$, проведена плоскость, которая пересекает противоположное боковое ребро $BB_1$ в его середине. Обозначим эту точку пересечения как $M$. Тогда сечением является треугольник $AMC$, и длина отрезка $BM$ равна половине высоты призмы: $BM = \frac{H}{2}$.

Угол между секущей плоскостью ($AMC$) и плоскостью основания ($ABC$) по условию равен $\alpha$. Этот угол является двугранным углом, образованным плоскостями, с ребром $AC$. Для измерения двугранного угла необходимо построить его линейный угол.

Проведем в равностороннем треугольнике $ABC$ высоту и медиану $BK$ к стороне $AC$. Тогда $BK \perp AC$. Длина высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле: $BK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Так как призма правильная, то она прямая, и ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Отсюда $BB_1 \perp (ABC)$, а значит ребро $BB_1$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и $BK$. Следовательно, $\triangle MKB$ — прямоугольный ($\angle MBK = 90^\circ$).

Рассмотрим наклонную $MK$ и ее проекцию $BK$ на плоскость основания. Поскольку проекция $BK$ перпендикулярна прямой $AC$, лежащей в плоскости основания, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $MK$ перпендикулярна $AC$ ($MK \perp AC$).

Поскольку $BK \perp AC$ и $MK \perp AC$, то угол $\angle MKB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. По условию, $\angle MKB = \alpha$.

В прямоугольном треугольнике $MKB$ известны катет $BK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ и противолежащий ему катет $MB = \frac{H}{2}$. Связь между катетами и острым углом выражается через тангенс: $\tan(\alpha) = \frac{MB}{BK} = \frac{H/2}{a\sqrt{3}/2} = \frac{H}{a\sqrt{3}}$.

Выразим из этого уравнения высоту призмы $H$: $H = a\sqrt{3} \tan(\alpha)$.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 3a \cdot (a\sqrt{3} \tan(\alpha)) = 3\sqrt{3} a^2 \tan(\alpha)$.

Ответ: $3\sqrt{3} a^2 \tan(\alpha)$.

164. Основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб, $AB = 8$ см, $AC = 12$ см, $AA_1 = 3$ см. Через диагональ $AC$ нижнего основания и середину стороны $A_1B_1$ верхнего основания проведена плоскость. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы.

Построение сечения

Пусть $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — заданная прямая призма, где основание $ABCD$ — ромб. По условию задачи даны: сторона ромба $AB = 8$ см, диагональ ромба $AC = 12$ см, высота призмы $AA_1 = 3$ см.Секущая плоскость проходит через диагональ $AC$ нижнего основания и точку $M$ — середину стороны $A_1B_1$ верхнего основания.Поскольку плоскости оснований призмы параллельны, то есть $(ABC) \parallel (A_1B_1C_1)$, секущая плоскость пересечет плоскость верхнего основания по прямой, параллельной прямой $AC$.В плоскости верхнего основания $(A_1B_1C_1)$ проведем через точку $M$ прямую, параллельную диагонали $A_1C_1$ (которая, в свою очередь, параллельна и равна $AC$). Эта прямая пересечет сторону $B_1C_1$. Так как $M$ — середина $A_1B_1$, то по теореме Фалеса (или рассматривая $\triangle A_1B_1C_1$) эта прямая пересечет сторону $B_1C_1$ в ее середине. Обозначим эту точку $N$. Отрезок $MN$ является средней линией треугольника $A_1B_1C_1$.Таким образом, искомое сечение — это четырехугольник $AMNC$.

Определение вида сечения и его элементов

Так как по построению $MN \parallel AC$, четырехугольник $AMNC$ является трапецией.Найдем длины оснований этой трапеции:Большее основание $AC = 12$ см (дано по условию).Меньшее основание $MN$ — это средняя линия $\triangle A_1B_1C_1$. Длина диагонали верхнего основания $A_1C_1$ равна длине диагонали нижнего основания $AC$, то есть $A_1C_1 = 12$ см.Следовательно, $MN = \frac{1}{2} A_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Теперь найдем длины боковых сторон трапеции $AM$ и $CN$.Призма является прямой, поэтому ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. В частности, $AA_1 \perp A_1B_1$. Это означает, что треугольник $AA_1M$ — прямоугольный с прямым углом $\angle AA_1M$.Катет $AA_1 = 3$ см.Катет $A_1M$ равен половине стороны $A_1B_1$: $A_1M = \frac{1}{2} A_1B_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.По теореме Пифагора для $\triangle AA_1M$:$AM^2 = AA_1^2 + A_1M^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.$AM = \sqrt{25} = 5$ см.

Аналогично, ребро $CC_1 \perp C_1B_1$, значит, треугольник $CC_1N$ — прямоугольный с прямым углом $\angle CC_1N$.Катет $CC_1 = AA_1 = 3$ см.Катет $C_1N$ равен половине стороны $B_1C_1$: $C_1N = \frac{1}{2} B_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.По теореме Пифагора для $\triangle CC_1N$:$CN^2 = CC_1^2 + C_1N^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.$CN = \sqrt{25} = 5$ см.

Поскольку боковые стороны трапеции равны ($AM = CN = 5$ см), трапеция $AMNC$ является равнобедренной.

Вычисление высоты трапеции

Для вычисления площади трапеции найдем ее высоту $h$. В равнобедренной трапеции высота — это отрезок, соединяющий середины оснований. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $ABCD$ (и середина $AC$), а $K$ — середина отрезка $MN$. Тогда отрезок $OK$ является высотой трапеции $AMNC$.Найдем длину $OK$, используя метод проекций. Спроектируем отрезок $OK$ на плоскость нижнего основания $(ABC)$. Проекцией точки $O$ является сама точка $O$. Проекцией точки $K$ (середины $MN$) на плоскость $(ABC)$ будет точка $P$, которая является серединой проекции отрезка $MN$. Проекцией $MN$ является средняя линия $\triangle ABC$, соединяющая середины сторон $AB$ и $BC$. В $\triangle ABC$ медиана $BO$ пересекает эту среднюю линию в ее середине, точке $P$. Таким образом, точка $P$ — середина отрезка $BO$, и $OP = \frac{1}{2} BO$.

Найдем длину $BO$. В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом, поэтому $\triangle AOB$ — прямоугольный. $AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см. Гипотенуза $AB = 8$ см.По теореме Пифагора:$BO^2 = AB^2 - AO^2 = 8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28$.$BO = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ см.Тогда длина проекции $OP = \frac{1}{2} BO = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{7} = \sqrt{7}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются проекция $OP$ и отрезок, равный высоте призмы, а гипотенузой — высота трапеции $OK$.$h^2 = OK^2 = OP^2 + (\text{высота призмы})^2 = (\sqrt{7})^2 + 3^2 = 7 + 9 = 16$.$h = OK = \sqrt{16} = 4$ см.

Вычисление площади сечения

Площадь трапеции $AMNC$ вычисляется по формуле:$S = \frac{AC + MN}{2} \cdot h$Подставляем найденные значения оснований и высоты:$S = \frac{12 + 6}{2} \cdot 4 = \frac{18}{2} \cdot 4 = 9 \cdot 4 = 36$ см$^2$.

Ответ: $36$ см$^2$.

165. Боковое ребро наклонной призмы равно 12 см и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите высоту призмы.

Обозначим длину бокового ребра наклонной призмы как $l$, а её высоту как $h$. Угол, который боковое ребро образует с плоскостью основания, обозначим как $\alpha$. Согласно условию задачи, $l = 12$ см и $\alpha = 30^{\circ}$.

Высота призмы, боковое ребро и его проекция на плоскость основания образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике боковое ребро $l$ является гипотенузой, а высота $h$ — катетом, который лежит напротив угла $\alpha$.

Связь между катетом, гипотенузой и противолежащим углом в прямоугольном треугольнике определяется через синус: $\sin(\alpha) = \frac{h}{l}$

Выразим высоту $h$ из этой формулы и подставим известные значения: $h = l \cdot \sin(\alpha) = 12 \cdot \sin(30^{\circ})$

Так как значение синуса 30 градусов равно $\frac{1}{2}$, то: $h = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

166. Расстояния между боковыми рёбрами наклонной треугольной призмы равны 4 см, 5 см и 7 см, а площадь её боковой поверхности — 48 $см^2$. Найдите боковое ребро призмы.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы ($S_{бок}$) вычисляется по формуле произведения периметра перпендикулярного сечения ($P_{\perp}$) на длину бокового ребра ($l$).

$S_{бок} = P_{\perp} \cdot l$

Перпендикулярное сечение призмы — это многоугольник, образованный пересечением призмы с плоскостью, перпендикулярной ее боковым ребрам. В данном случае, так как призма треугольная, перпендикулярным сечением будет треугольник. Стороны этого треугольника равны расстояниям между боковыми ребрами призмы.

Из условия задачи известно, что расстояния между боковыми ребрами равны 4 см, 5 см и 7 см. Следовательно, стороны перпендикулярного сечения равны этим значениям.

Найдем периметр перпендикулярного сечения $P_{\perp}$:

$P_{\perp} = 4 + 5 + 7 = 16$ см.

Площадь боковой поверхности призмы дана в условии: $S_{бок} = 48$ см².

Теперь мы можем найти длину бокового ребра $l$, выразив ее из основной формулы:

$l = \frac{S_{бок}}{P_{\perp}}$

Подставим известные значения и вычислим:

$l = \frac{48}{16} = 3$ см.

Ответ: 3 см.

167. В наклонной треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее боковое ребро равно 12 см и удалено от двух других боковых рёбер на 8 см и 15 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Площадь боковой поверхности наклонной призмы вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{сеч} \cdot l$, где $P_{сеч}$ — периметр перпендикулярного сечения призмы, а $l$ — длина бокового ребра.

По условию задачи, длина общего бокового ребра равна 12 см, следовательно, $l = 12$ см.

Рассмотрим перпендикулярное сечение призмы. Это сечение, плоскость которого перпендикулярна боковым ребрам. В нашем случае это будет треугольник.

Две боковые грани призмы перпендикулярны друг другу. Это означает, что двугранный угол при их общем боковом ребре равен 90°. Угол перпендикулярного сечения, который лежит на этом ребре, является линейным углом этого двугранного угла, следовательно, он равен 90°. Таким образом, перпендикулярное сечение призмы — это прямоугольный треугольник.

Расстояние от общего бокового ребра до двух других боковых ребер — это длины перпендикуляров, опущенных из вершины прямого угла перпендикулярного сечения на два других ребра. Эти перпендикуляры являются катетами этого прямоугольного треугольника. По условию, их длины равны 8 см и 15 см.

Пусть катеты перпендикулярного сечения равны $a = 8$ см и $b = 15$ см. Найдем гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ см.

Теперь найдем периметр перпендикулярного сечения (прямоугольного треугольника):

$P_{сеч} = a + b + c = 8 + 15 + 17 = 40$ см.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = P_{сеч} \cdot l = 40 \text{ см} \cdot 12 \text{ см} = 480$ см².

Ответ: $480$ см².