Страница 21 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

120. Величина двугранного угла равна $30^\circ$. Плоскость $\alpha$ пересекает грани двугранного угла по параллельным прямым, удалённым от ребра двугранного угла на $2\sqrt{3}$ см и на 6 см. Найдите расстояние от ребра двугранного угла до плоскости $\alpha$.

Для решения задачи рассмотрим сечение двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. В этом сечении двугранный угол изобразится своим линейным углом $ \angle AOB $, равным по условию $ 30^\circ $. Точка $O$ — это точка пересечения ребра с секущей плоскостью. Лучи $OA$ и $OB$ — это линии пересечения секущей плоскости с гранями двугранного угла.

Плоскость $ \alpha $ пересекает грани по параллельным прямым. Эти прямые, в свою очередь, будут параллельны ребру двугранного угла. В нашем перпендикулярном сечении эти прямые изобразятся точками, назовем их $A$ и $B$. Точка $A$ лежит на одном луче угла (например, $OA$), а точка $B$ — на другом ($OB$).

Расстояния от этих прямых до ребра двугранного угла — это длины перпендикуляров, проведенных от точек на прямых к ребру. В нашем сечении это будут длины отрезков $OA$ и $OB$. Согласно условию задачи, $ OA = 2\sqrt{3} $ см и $ OB = 6 $ см.

Искомое расстояние от ребра двугранного угла до плоскости $ \alpha $ в нашем сечении будет равно длине высоты треугольника $OAB$, проведенной из вершины $O$ к стороне $AB$. Обозначим эту высоту как $h$.

Таким образом, задача сводится к нахождению высоты $h$ в треугольнике $ \triangle OAB $, в котором известны две стороны $OA = 2\sqrt{3}$, $OB = 6$ и угол между ними $ \angle AOB = 30^\circ $.

Для начала найдем длину третьей стороны $AB$ по теореме косинусов: $ AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB) $ $ AB^2 = (2\sqrt{3})^2 + 6^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot 6 \cdot \cos(30^\circ) $ $ AB^2 = 12 + 36 - 24\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $ $ AB^2 = 48 - 12 \cdot 3 $ $ AB^2 = 48 - 36 $ $ AB^2 = 12 $ $ AB = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $ см.

Теперь, зная все стороны треугольника, мы можем найти искомую высоту $h$, используя формулу площади треугольника. Площадь $ \triangle OAB $ можно вычислить двумя способами:
1. Через две стороны и угол между ними: $ S = \frac{1}{2} OA \cdot OB \cdot \sin(\angle AOB) $
2. Через основание и высоту: $ S = \frac{1}{2} AB \cdot h $

Приравняем правые части этих двух выражений: $ \frac{1}{2} OA \cdot OB \cdot \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} AB \cdot h $ $ OA \cdot OB \cdot \sin(\angle AOB) = AB \cdot h $

Из этого равенства выразим высоту $h$: $ h = \frac{OA \cdot OB \cdot \sin(\angle AOB)}{AB} $

Подставим известные значения: $ h = \frac{2\sqrt{3} \cdot 6 \cdot \sin(30^\circ)}{2\sqrt{3}} $
Поскольку $ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $, получаем: $ h = \frac{2\sqrt{3} \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}}{2\sqrt{3}} $ $ h = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 $ см.

Следовательно, расстояние от ребра двугранного угла до плоскости $ \alpha $ равно 3 см.

Ответ: 3 см.

121. Из точек $M$ и $K$, лежащих в разных гранях двугранного угла, величина которого равна $60^\circ$, проведены к его ребру перпендикуляры $MM_1$ и $KK_1$ длиной 3 см и 8 см соответственно. Найдите отрезок $MK$, если $M_1K_1 = \sqrt{15}$ см.

Пусть дан двугранный угол с ребром $a$ и гранями $\alpha$ и $\beta$. Угол между гранями составляет $60^\circ$. В грани $\alpha$ лежит точка $M$, а в грани $\beta$ — точка $K$. Из этих точек опущены перпендикуляры на ребро $a$: $MM_1$ и $KK_1$. По условию, длины этих перпендикуляров равны $MM_1 = 3$ см и $KK_1 = 8$ см. Расстояние между основаниями перпендикуляров на ребре составляет $M_1K_1 = \sqrt{15}$ см. Необходимо найти расстояние между точками $M$ и $K$.

Решение:

Для нахождения расстояния $MK$ применим метод пространственных построений. Выполним параллельный перенос отрезка $MM_1$ вдоль ребра $a$ на вектор $\vec{M_1K_1}$. В результате этого переноса точка $M_1$ отобразится в точку $K_1$, а точка $M$ — в некоторую новую точку $M'$. При этом образуется прямоугольник $M_1K_1M'M$, из свойств которого следует, что $M'K_1 = MM_1 = 3$ см и $MM' = M_1K_1 = \sqrt{15}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $M'K_1K$. Отрезки $M'K_1$ и $KK_1$ перпендикулярны ребру $a$ в одной и той же точке $K_1$. Это означает, что угол между ними, $\angle M'K_1K$, является линейным углом двугранного угла, то есть $\angle M'K_1K = 60^\circ$. Применим к этому треугольнику теорему косинусов, чтобы найти длину стороны $M'K$:

$M'K^2 = (M'K_1)^2 + (KK_1)^2 - 2 \cdot M'K_1 \cdot KK_1 \cdot \cos(60^\circ)$

$M'K^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 9 + 64 - 24 = 49$

Отсюда $M'K = \sqrt{49} = 7$ см.

Далее рассмотрим треугольник $MM'K$. Отрезок $MM'$ параллелен ребру $a$ по построению. Отрезок $M'K$ лежит в плоскости, перпендикулярной ребру $a$ (в плоскости треугольника $M'K_1K$). Следовательно, $MM' \perp M'K$, и треугольник $MM'K$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M'$.

По теореме Пифагора для треугольника $MM'K$ найдем искомую длину $MK$:

$MK^2 = MM'^2 + M'K^2$

$MK^2 = (\sqrt{15})^2 + 7^2 = 15 + 49 = 64$

$MK = \sqrt{64} = 8$ см.

Ответ: 8 см.

122. На рисунке 31 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $A_1BC$.

Рис. 31

Угол между двумя пересекающимися плоскостями — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Он измеряется углом между двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей из одной точки, причём перпендикуляры лежат в этих плоскостях.

1. Найдём линию пересечения плоскостей $ABC$ и $A_1BC$. Обе плоскости содержат точки $B$ и $C$, следовательно, их линия пересечения — это прямая $BC$.

2. Построим перпендикуляры к прямой $BC$ в обеих плоскостях. Удобно провести их через точку $B$.

• В плоскости основания $ABC$, которая является квадратом $ABCD$, ребро $AB$ перпендикулярно ребру $BC$. Таким образом, $AB \perp BC$.

• В плоскости $A_1BC$ найдём прямую, перпендикулярную $BC$. Ребро куба $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, а значит, и прямой $BC$, лежащей в этой плоскости ($BB_1 \perp BC$). Также мы знаем, что $AB \perp BC$. Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AB$ и $BB_1$) в плоскости грани $ABB_1A_1$, то прямая $BC$ перпендикулярна всей плоскости $ABB_1A_1$.

• Так как $BC$ перпендикулярна плоскости $ABB_1A_1$, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $A_1B$. Прямая $A_1B$ лежит в плоскости $A_1BC$, следовательно, $A_1B \perp BC$.

3. Мы построили линейный угол: прямая $AB$ лежит в плоскости $ABC$, прямая $A_1B$ лежит в плоскости $A_1BC$, и обе они перпендикулярны линии пересечения $BC$ в точке $B$. Следовательно, искомый угол между плоскостями равен углу между прямыми $AB$ и $A_1B$, то есть углу $\angle A_1BA$.

4. Найдём величину угла $\angle A_1BA$. Этот угол находится в грани $ABB_1A_1$. Грань $ABB_1A_1$ — это квадрат, поэтому $\angle A_1AB = 90^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1BA$. Его катеты $AA_1$ и $AB$ равны, так как являются рёбрами куба. Пусть длина ребра равна $a$. Тогда $AA_1 = AB = a$.

Треугольник $\triangle A_1BA$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Его острые углы равны по $45^\circ$. Значит, $\angle A_1BA = 45^\circ$.

Также можно рассчитать через тангенс угла:

$\tan(\angle A_1BA) = \frac{A_1A}{AB} = \frac{a}{a} = 1$

Отсюда, $\angle A_1BA = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.

123. Через гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол $30^\circ$. Найдите расстояние от вершины C до этой плоскости, если катеты треугольника равны $6 \text{ см}$ и $8 \text{ см}$.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Катеты $AC = 6$ см и $BC = 8$ см. Обозначим плоскость треугольника как $\beta$. Через гипотенузу $AB$ проведена плоскость $\alpha$, которая образует с плоскостью $\beta$ угол $30^\circ$. Необходимо найти расстояние от вершины $C$ до плоскости $\alpha$.

1. Найдем длину гипотенузы $AB$ в треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$AB = \sqrt{100} = 10$ см.

2. Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Проведем перпендикуляр $CK$ из вершины $C$ на плоскость $\alpha$. Длина отрезка $CK$ — искомое расстояние.

3. Угол между двумя плоскостями ($\alpha$ и $\beta$) измеряется линейным углом двугранного угла, образованного этими плоскостями. Линией пересечения плоскостей является гипотенуза $AB$. Для построения линейного угла проведем в плоскости $\beta$ высоту $CH$ к гипотенузе $AB$. Тогда $CH \perp AB$.

4. Соединим точки $H$ и $K$. Отрезок $HK$ является проекцией наклонной $CH$ на плоскость $\alpha$. По теореме о трех перпендикулярах, так как наклонная $CH \perp AB$, то и ее проекция $HK \perp AB$. Следовательно, угол $\angle CHK$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $\alpha$ и $\beta$. По условию задачи, $\angle CHK = 30^\circ$.

5. Найдем длину высоты $CH$. Площадь треугольника $ABC$ можно вычислить двумя способами:
Через катеты: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см$^2$.
Через гипотенузу и высоту: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot CH = 5 \cdot CH$.
Приравняв площади, получим: $5 \cdot CH = 24$, откуда $CH = \frac{24}{5} = 4,8$ см.

6. Рассмотрим треугольник $CHK$. Так как $CK$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а отрезок $HK$ лежит в этой плоскости, то $CK \perp HK$. Значит, треугольник $CHK$ — прямоугольный. В этом треугольнике $CH$ — гипотенуза, а $CK$ — катет, противолежащий углу $\angle CHK = 30^\circ$.
Найдем длину катета $CK$:
$CK = CH \cdot \sin(\angle CHK) = 4,8 \cdot \sin(30^\circ) = 4,8 \cdot \frac{1}{2} = 2,4$ см.

Ответ: 2,4 см.

124. Равнобедренные треугольники $ABC$ и $ABD$ имеют общее основание $AB$. Угол между их плоскостями равен $60^\circ$. Найдите отрезок $CD$, если $BC = 15 \text{ см}$, $BD = 13 \text{ см}$, $AB = 24 \text{ см}$.

Поскольку треугольники $ABC$ и $ABD$ являются равнобедренными с общим основанием $AB$, их высоты, проведенные из вершин $C$ и $D$ к основанию $AB$, пересекут $AB$ в одной и той же точке — его середине. Обозначим эту точку как $H$.

Таким образом, $CH$ — высота и медиана треугольника $ABC$, а $DH$ — высота и медиана треугольника $ABD$. Это означает, что $CH \perp AB$ и $DH \perp AB$.

Угол между плоскостями $(ABC)$ и $(ABD)$ — это двугранный угол, который измеряется линейным углом. Так как $CH$ и $DH$ перпендикулярны линии пересечения плоскостей $AB$, угол между отрезками $CH$ и $DH$ и есть линейный угол двугранного угла. Следовательно, $\angle CHD = 60^\circ$.

Теперь найдем длины отрезков $CH$ и $DH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCH$. Так как $H$ — середина $AB$, то $BH = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см. По теореме Пифагора:$CH^2 = BC^2 - BH^2$$CH = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDH$. $BH$ также равно 12 см. По теореме Пифагора:$DH^2 = BD^2 - BH^2$$DH = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь у нас есть треугольник $CHD$, в котором известны две стороны ($CH=9$ см и $DH=5$ см) и угол между ними ($\angle CHD = 60^\circ$). Чтобы найти третью сторону $CD$, воспользуемся теоремой косинусов:$CD^2 = CH^2 + DH^2 - 2 \cdot CH \cdot DH \cdot \cos(\angle CHD)$$CD^2 = 9^2 + 5^2 - 2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot \cos(60^\circ)$Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:$CD^2 = 81 + 25 - 2 \cdot 9 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2}$$CD^2 = 106 - 45$$CD^2 = 61$$CD = \sqrt{61}$ см.

Ответ: $\sqrt{61}$ см.

125. Равнобедренные треугольники $ABC$ и $DBC$ имеют общее основание $BC$. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $DBC$, если $AB = 2\sqrt{21}$ см, $AD = 2\sqrt{15}$ см, $\angle BDC = 90^\circ$, $BC = 12$ см.

Угол между плоскостями (ABC) и (DBC) — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями, с ребром BC. Для нахождения этого угла построим его. Пусть M — середина общего основания BC.

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием BC, его медиана AM является также и высотой, то есть $AM \perp BC$. Аналогично, так как треугольник DBC равнобедренный с основанием BC, его медиана DM также является высотой, то есть $DM \perp BC$. Следовательно, угол $\angle AMD$ является искомым линейным углом двугранного угла.

Для вычисления величины угла $\angle AMD$ найдем длины сторон треугольника AMD.

Рассмотрим $\triangle DBC$. По условию он является равнобедренным ($DB=DC$) и прямоугольным ($\angle BDC = 90^\circ$). Его гипотенуза $BC = 12$ см. DM — медиана, проведенная к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. Следовательно, $DM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

Рассмотрим $\triangle ABC$. Он равнобедренный с основанием $BC=12$ см и боковыми сторонами $AB = AC = 2\sqrt{21}$ см. AM — его высота, а M — середина BC, поэтому $BM = \frac{1}{2}BC = 6$ см. Из прямоугольного треугольника AMB ($\angle AMB = 90^\circ$) по теореме Пифагора: $AM^2 = AB^2 - BM^2 = (2\sqrt{21})^2 - 6^2 = (4 \cdot 21) - 36 = 84 - 36 = 48$. Отсюда $AM = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ см.

Теперь, когда известны все стороны $\triangle AMD$ ($AM = 4\sqrt{3}$ см, $DM = 6$ см, и $AD = 2\sqrt{15}$ см по условию), применим к нему теорему косинусов для нахождения угла $\angle AMD$:
$AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2 \cdot AM \cdot DM \cdot \cos(\angle AMD)$
$(2\sqrt{15})^2 = (4\sqrt{3})^2 + 6^2 - 2 \cdot (4\sqrt{3}) \cdot 6 \cdot \cos(\angle AMD)$
$60 = 48 + 36 - 48\sqrt{3} \cdot \cos(\angle AMD)$
$60 = 84 - 48\sqrt{3} \cdot \cos(\angle AMD)$
$48\sqrt{3} \cdot \cos(\angle AMD) = 84 - 60$
$48\sqrt{3} \cdot \cos(\angle AMD) = 24$
$\cos(\angle AMD) = \frac{24}{48\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

Таким образом, искомый угол равен $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)$.

126. Сторона $AB$ равностороннего треугольника $ABC$ принадлежит плоскости $\alpha$. Из точки $C$ к плоскости $\alpha$ проведён перпендикуляр $CO$. Расстояние от точки $O$ до прямой $AB$ равно $3\sqrt{3}$ см, площадь треугольника $ABC$ равна $36\sqrt{3}$ см². Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$.

Пусть $a$ - сторона равностороннего треугольника $ABC$. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

По условию, площадь треугольника $ABC$ равна $36\sqrt{3}$ см². Подставим это значение в формулу, чтобы найти сторону треугольника: $36\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$: $36 = \frac{a^2}{4}$

$a^2 = 36 \cdot 4 = 144$

$a = \sqrt{144} = 12$ см.

Итак, сторона треугольника $ABC$ равна 12 см.

Угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$ - это двугранный угол. Его величину можно измерить через линейный угол, который образуется двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей (прямой $AB$) в одной точке.

Проведем в треугольнике $ABC$ высоту $CM$ к стороне $AB$. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, высота $CM$ также является медианой, и точка $M$ - середина $AB$. Длина высоты равностороннего треугольника вычисляется по формуле: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

$CM = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см.

По построению, $CM \perp AB$.

По условию, из точки $C$ к плоскости $\alpha$ проведен перпендикуляр $CO$. Это означает, что $CO \perp \alpha$. Отрезок $CM$ является наклонной к плоскости $\alpha$, а отрезок $OM$ - ее проекцией на эту плоскость.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($CM$) перпендикулярна прямой на плоскости ($AB$), то и ее проекция ($OM$) перпендикулярна этой же прямой. Следовательно, $OM \perp AB$.

Таким образом, угол $\angle CMO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $ABC$ и $\alpha$.

Длина отрезка $OM$ - это расстояние от точки $O$ до прямой $AB$. По условию, это расстояние равно $3\sqrt{3}$ см. Итак, $OM = 3\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим треугольник $CMO$. Так как $CO \perp \alpha$, а $OM$ лежит в плоскости $\alpha$, то $CO \perp OM$. Следовательно, треугольник $CMO$ - прямоугольный с прямым углом $\angle COM$.

В этом треугольнике мы знаем:

• гипотенузу $CM = 6\sqrt{3}$ см
• катет $OM = 3\sqrt{3}$ см

Найдем косинус угла $\angle CMO$: $\cos(\angle CMO) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OM}{CM}$

$\cos(\angle CMO) = \frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, равен $60^\circ$.

Следовательно, угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.