Номер 122, страница 21 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

122. На рисунке 31 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между плоскостями $ABC$ и $A_1BC$.

Рис. 31

Угол между двумя пересекающимися плоскостями — это линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями. Он измеряется углом между двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей из одной точки, причём перпендикуляры лежат в этих плоскостях.

1. Найдём линию пересечения плоскостей $ABC$ и $A_1BC$. Обе плоскости содержат точки $B$ и $C$, следовательно, их линия пересечения — это прямая $BC$.

2. Построим перпендикуляры к прямой $BC$ в обеих плоскостях. Удобно провести их через точку $B$.

• В плоскости основания $ABC$, которая является квадратом $ABCD$, ребро $AB$ перпендикулярно ребру $BC$. Таким образом, $AB \perp BC$.

• В плоскости $A_1BC$ найдём прямую, перпендикулярную $BC$. Ребро куба $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, а значит, и прямой $BC$, лежащей в этой плоскости ($BB_1 \perp BC$). Также мы знаем, что $AB \perp BC$. Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AB$ и $BB_1$) в плоскости грани $ABB_1A_1$, то прямая $BC$ перпендикулярна всей плоскости $ABB_1A_1$.

• Так как $BC$ перпендикулярна плоскости $ABB_1A_1$, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $A_1B$. Прямая $A_1B$ лежит в плоскости $A_1BC$, следовательно, $A_1B \perp BC$.

3. Мы построили линейный угол: прямая $AB$ лежит в плоскости $ABC$, прямая $A_1B$ лежит в плоскости $A_1BC$, и обе они перпендикулярны линии пересечения $BC$ в точке $B$. Следовательно, искомый угол между плоскостями равен углу между прямыми $AB$ и $A_1B$, то есть углу $\angle A_1BA$.

4. Найдём величину угла $\angle A_1BA$. Этот угол находится в грани $ABB_1A_1$. Грань $ABB_1A_1$ — это квадрат, поэтому $\angle A_1AB = 90^\circ$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle A_1BA$. Его катеты $AA_1$ и $AB$ равны, так как являются рёбрами куба. Пусть длина ребра равна $a$. Тогда $AA_1 = AB = a$.

Треугольник $\triangle A_1BA$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. Его острые углы равны по $45^\circ$. Значит, $\angle A_1BA = 45^\circ$.

Также можно рассчитать через тангенс угла:

$\tan(\angle A_1BA) = \frac{A_1A}{AB} = \frac{a}{a} = 1$

Отсюда, $\angle A_1BA = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.