Номер 129, страница 22 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

129. Сторона квадрата $ABCD$ равна 4 см. Через его центр $O$ проведена прямая $m$, перпендикулярная плоскости квадрата. Плоскость, проведённая через сторону $AB$, пересекает прямую $m$ в точке $F$. Угол между плоскостями $ABF$ и $ABC$ равен $60^\circ$. Найдите проекцию отрезка $OF$ на плоскость $ABF$.

Пусть $ABCD$ — данный квадрат со стороной $a = 4$ см и центром $O$. Прямая $m$ проходит через точку $O$ и перпендикулярна плоскости квадрата $(ABC)$, т.е. $m \perp (ABC)$. Плоскость, проходящая через сторону $AB$, пересекает прямую $m$ в точке $F$. Эта плоскость образует треугольник $ABF$. Угол между плоскостями $(ABF)$ и $(ABC)$ равен $60^{\circ}$. Требуется найти длину проекции отрезка $OF$ на плоскость $(ABF)$.

1. Нахождение линейного угла.

Угол между двумя плоскостями — это двугранный угол, который измеряется своим линейным углом. Линейный угол строится как угол между двумя перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей в одной точке.

Плоскости $(ABF)$ и $(ABC)$ пересекаются по прямой $AB$.

Проведем в плоскости $(ABC)$ отрезок $OK$, где $K$ — середина стороны $AB$. Так как $ABCD$ — квадрат, а $O$ — его центр, то $OK$ является перпендикуляром к стороне $AB$. Длина $OK$ равна половине стороны квадрата: $OK = \frac{AD}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Рассмотрим треугольник $ABF$. Так как $FO \perp (ABC)$, то $FO$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в частности $FO \perp OA$ и $FO \perp OB$. Треугольники $FOA$ и $FOB$ — прямоугольные. У них общий катет $FO$, а катеты $OA$ и $OB$ равны как половины диагоналей квадрата. Следовательно, $\triangle FOA = \triangle FOB$ по двум катетам, откуда $FA = FB$. Таким образом, треугольник $ABF$ является равнобедренным с основанием $AB$.

В равнобедренном треугольнике $ABF$ медиана $FK$, проведенная к основанию $AB$, является также и высотой, то есть $FK \perp AB$.

Мы получили два перпендикуляра $OK$ и $FK$ к общей прямой $AB$, проведенные в точке $K$. Следовательно, угол $\angle FKO$ является линейным углом двугранного угла между плоскостями $(ABF)$ и $(ABC)$. По условию, $\angle FKO = 60^{\circ}$.

2. Расчет параметров треугольника $FOK$.

Рассмотрим треугольник $FOK$. Поскольку прямая $m$ (содержащая отрезок $FO$) перпендикулярна плоскости $(ABC)$, а отрезок $OK$ лежит в этой плоскости, то $FO \perp OK$. Таким образом, $\triangle FOK$ — прямоугольный с прямым углом $\angle FOK$.

В этом треугольнике нам известны:

• Катет $OK = 2$ см.
• Угол $\angle FKO = 60^{\circ}$.

Найдем длину катета $OF$ и гипотенузы $FK$:
$OF = OK \cdot \tan(\angle FKO) = 2 \cdot \tan(60^{\circ}) = 2\sqrt{3}$ см.
$FK = \frac{OK}{\cos(\angle FKO)} = \frac{2}{\cos(60^{\circ})} = \frac{2}{1/2} = 4$ см.

3. Нахождение проекции отрезка $OF$ на плоскость $(ABF)$.

Проекцией отрезка $OF$ на плоскость $(ABF)$ является отрезок, соединяющий проекции точек $O$ и $F$ на эту плоскость.

Точка $F$ уже лежит в плоскости $(ABF)$, поэтому ее проекция совпадает с самой точкой $F$.

Найдем проекцию точки $O$ на плоскость $(ABF)$. Для этого опустим перпендикуляр из точки $O$ на плоскость $(ABF)$. Пусть $H$ — основание этого перпендикуляра, т.е. $OH \perp (ABF)$. Тогда искомая проекция отрезка $OF$ — это отрезок $HF$. Нам нужно найти его длину.

Плоскость, проходящая через точки $F, O, K$, перпендикулярна прямой $AB$ (так как $OK \perp AB$ и $FK \perp AB$). Поскольку плоскость $(FOK)$ перпендикулярна прямой $AB$, которая лежит в плоскости $(ABF)$, то перпендикуляр $OH$ из точки $O$ к плоскости $(ABF)$ должен лежать в плоскости $(FOK)$.

Это означает, что точка $H$ лежит на линии пересечения плоскостей $(FOK)$ и $(ABF)$, то есть на прямой $FK$.

Таким образом, $OH$ — это высота прямоугольного треугольника $FOK$, опущенная из вершины прямого угла $O$ на гипотенузу $FK$.

Длина отрезка $HF$ является проекцией катета $OF$ на гипотенузу $FK$ в прямоугольном треугольнике $FOK$. В прямоугольном треугольнике проекция катета на гипотенузу равна произведению этого катета на косинус прилежащего к нему острого угла.

В прямоугольном $\triangle FOK$ острый угол $\angle OFK = 90^{\circ} - \angle FKO = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.

Тогда длина проекции $HF$ равна:
$HF = OF \cdot \cos(\angle OFK) = 2\sqrt{3} \cdot \cos(30^{\circ}) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3$ см.

Ответ: 3 см.