Номер 135, страница 22 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

135. Плоскости $\pi$ и $\gamma$ перпендикулярны и пересекаются по прямой $m$. Плоскость $\varphi$ пересекает плоскости $\pi$ и $\gamma$ соответственно по прямым $k$ и $p$, параллельным прямой $m$. Расстояние между прямыми $k$ и $p$ равно 20 см, а между прямыми $m$ и $p$ — 16 см. Найдите расстояние между прямой $m$ и плоскостью $\varphi$.

Пусть плоскости $\pi$ и $\gamma$ перпендикулярны. Линия их пересечения — прямая $m$.Плоскость $\varphi$ пересекает плоскость $\pi$ по прямой $k$ и плоскость $\gamma$ по прямой $p$.По условию, прямые $k$ и $p$ параллельны прямой $m$. Из этого следует, что все три прямые $m$, $k$, $p$ параллельны друг другу ($m \parallel k \parallel p$).

Для нахождения расстояния между прямой $m$ и плоскостью $\varphi$, построим плоскость $\delta$, перпендикулярную прямым $m$, $k$ и $p$. Эта плоскость пересечет прямые $m, k, p$ в точках $M, K, P$ соответственно.

Точка $M$ лежит на прямой $m$, которая является линией пересечения плоскостей $\pi$ и $\gamma$. Следовательно, точка $M$ принадлежит обеим плоскостям: $M \in \pi$ и $M \in \gamma$.
Точка $K$ лежит на прямой $k$, которая является линией пересечения плоскостей $\varphi$ и $\pi$. Следовательно, $K \in \varphi$ и $K \in \pi$.
Точка $P$ лежит на прямой $p$, которая является линией пересечения плоскостей $\varphi$ и $\gamma$. Следовательно, $P \in \varphi$ и $P \in \gamma$.

Рассмотрим треугольник $\Delta MKP$.

• Отрезок $MK$ лежит в плоскости $\pi$ (так как $M, K \in \pi$).
• Отрезок $MP$ лежит в плоскости $\gamma$ (так как $M, P \in \gamma$).
• Отрезок $KP$ лежит в плоскости $\varphi$ (так как $K, P \in \varphi$).

Поскольку плоскости $\pi$ и $\gamma$ перпендикулярны, то прямые $MK$ и $MP$, лежащие в этих плоскостях и проходящие через точку $M$ на линии их пересечения, будут перпендикулярны. Таким образом, $\angle KMP = 90^\circ$, и треугольник $\Delta MKP$ является прямоугольным.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется по общему перпендикуляру. Так как плоскость $\delta$ перпендикулярна прямым, то длины сторон треугольника $\Delta MKP$ равны расстояниям между соответствующими прямыми:

• Гипотенуза $KP$ равна расстоянию между прямыми $k$ и $p$, то есть $KP = 20$ см.
• Катет $MP$ равен расстоянию между прямыми $m$ и $p$, то есть $MP = 16$ см.

Найдем длину второго катета $MK$ по теореме Пифагора:$MK^2 + MP^2 = KP^2$$MK^2 + 16^2 = 20^2$$MK^2 + 256 = 400$$MK^2 = 400 - 256 = 144$$MK = \sqrt{144} = 12$ см.

Расстояние между прямой $m$ и плоскостью $\varphi$ (которой принадлежит прямая $k$) равно расстоянию от любой точки прямой $m$ до плоскости $\varphi$. В нашей конструкции это расстояние равно длине высоты $MH$, проведенной из вершины прямого угла $M$ к гипотенузе $KP$ в треугольнике $\Delta MKP$.

Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить двумя способами:$S = \frac{1}{2} \cdot MK \cdot MP = \frac{1}{2} \cdot KP \cdot MH$Отсюда выразим высоту $MH$:$MK \cdot MP = KP \cdot MH$$MH = \frac{MK \cdot MP}{KP}$Подставим известные значения:$MH = \frac{12 \cdot 16}{20} = \frac{192}{20} = \frac{96}{10} = 9.6$ см.

Таким образом, расстояние между прямой $m$ и плоскостью $\varphi$ равно 9,6 см.

Ответ: 9,6 см.