Номер 140, страница 23 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Площадь ортогональной проекции многоугольника. Вариант 1. Упражнения - номер 140, страница 23.

Условие.

Площадь ортогональной проекции многоугольника

140. Найдите площадь ортогональной проекции многоугольника на некоторую плоскость, если площадь многоугольника равна 8 $см^2$, а угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции равен $30^{\circ}$.

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о площади ортогональной проекции многоугольника. Согласно этой теореме, площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению площади этого многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Формула выглядит следующим образом:

$S_{пр} = S \cdot \cos(\alpha)$

где:

• $S_{пр}$ — площадь ортогональной проекции многоугольника,
• $S$ — площадь исходного многоугольника,
• $\alpha$ — угол между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

По условию задачи нам дано:

• Площадь многоугольника $S = 8 \text{ см}^2$.
• Угол между плоскостями $\alpha = 30^\circ$.

Подставим эти значения в формулу:

$S_{пр} = 8 \cdot \cos(30^\circ)$

Значение косинуса $30^\circ$ является известной величиной:

$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь выполним вычисление:

$S_{пр} = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \text{ см}^2$

Таким образом, площадь ортогональной проекции многоугольника составляет $4\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Ответ: $4\sqrt{3} \text{ см}^2$.