Номер 145, страница 24 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

145. Площадь трапеции равна $48\sqrt{3}\text{ см}^2$, а её ортогональная проекция на плоскость $\alpha$ — равнобокая трапеция с основаниями 4 см и 20 см и боковой стороной 10 см. Найдите угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью данной трапеции.

Пусть $S$ - площадь данной трапеции, а $S_{пр}$ - площадь ее ортогональной проекции на плоскость $\alpha$. Угол между плоскостью трапеции и плоскостью $\alpha$ обозначим как $\theta$.

Согласно условию, площадь исходной трапеции равна $S = 48\sqrt{3}$ см².

Ортогональная проекция является равнобокой трапецией с основаниями $a = 4$ см, $b = 20$ см и боковой стороной $c = 10$ см. Для нахождения ее площади $S_{пр}$ сначала необходимо вычислить высоту $h$.

В равнобокой трапеции, если провести высоты из вершин меньшего основания к большему, они отсекут на большем основании два равных отрезка. Длина каждого из этих отрезков вычисляется как полуразность оснований:
$x = \frac{b-a}{2} = \frac{20-4}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Высота $h$, боковая сторона $c$ и отрезок $x$ образуют прямоугольный треугольник, где $c$ — гипотенуза, а $h$ и $x$ — катеты. По теореме Пифагора:
$h^2 + x^2 = c^2$
$h^2 + 8^2 = 10^2$
$h^2 + 64 = 100$
$h^2 = 100 - 64 = 36$
$h = \sqrt{36} = 6$ см.

Теперь найдем площадь трапеции-проекции по формуле:
$S_{пр} = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{4+20}{2} \cdot 6 = \frac{24}{2} \cdot 6 = 12 \cdot 6 = 72$ см².

Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость связана с площадью самого многоугольника и углом $\theta$ между их плоскостями соотношением:
$S_{пр} = S \cdot \cos(\theta)$

Выразим из этой формулы $\cos(\theta)$ и подставим известные значения:
$\cos(\theta) = \frac{S_{пр}}{S} = \frac{72}{48\sqrt{3}}$

Упростим полученное выражение, сократив дробь на 24:
$\cos(\theta) = \frac{3}{2\sqrt{3}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$\cos(\theta) = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, составляет $30^\circ$.
$\theta = \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.