Номер 150, страница 24 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

150. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, основания которой равны 12 см и 18 см, а высота — 3 см. Найдите двугранные углы призмы при её боковых рёбрах.

Поскольку призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. Это означает, что боковые грани являются прямоугольниками и также перпендикулярны основаниям. Двугранный угол при боковом ребре прямой призмы равен соответствующему внутреннему углу многоугольника, лежащего в основании. Таким образом, задача сводится к нахождению внутренних углов равнобокой трапеции, которая является основанием призмы.

Пусть основанием призмы является равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, $AD = 18$ см, $BC = 12$ см, а высота трапеции $h = 3$ см.

Для нахождения углов трапеции проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к основанию $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $AH$, который высота отсекает от большего основания, можно найти по формуле:

$AH = \frac{AD - BC}{2}$

Подставим известные значения:

$AH = \frac{18 - 12}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. В нем катет $BH$ равен высоте трапеции ($3$ см), и мы нашли, что катет $AH$ также равен $3$ см. Найдем тангенс угла $\angle A$:

$\tan(\angle A) = \frac{BH}{AH} = \frac{3}{3} = 1$

Отсюда следует, что угол $\angle A = 45^\circ$.

Так как трапеция равнобокая, углы при каждом основании равны. Следовательно, угол при другом конце большего основания также равен $45^\circ$:

$\angle D = \angle A = 45^\circ$

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle B$:

$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

Так как трапеция равнобокая, $\angle C = \angle B = 135^\circ$.

Таким образом, углы основания трапеции равны $45^\circ$, $135^\circ$, $135^\circ$ и $45^\circ$. Соответственно, двугранные углы призмы при её боковых рёбрах равны этим углам.

Ответ: два угла по $45^\circ$ и два угла по $135^\circ$.