Номер 153, страница 25 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

153. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с основанием 8 см и высотой, проведённой к нему, равной 3 см. Найдите площадь полной поверхности призмы, если её высота равна 6 см.

Площадь полной поверхности прямой призмы ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площадей двух оснований ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$):$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок}$.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра её основания ($P_{осн}$) на высоту призмы ($H$):$S_{бок} = P_{осн} \cdot H$.

1. Вычисление площади основания.
Основанием призмы является равнобедренный треугольник с основанием $a = 8$ см и высотой $h_a = 3$ см, проведённой к этому основанию.Площадь основания ($S_{осн}$) вычисляется по формуле площади треугольника:$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 8 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.

2. Вычисление периметра основания.
Для нахождения площади боковой поверхности нам нужен периметр основания ($P_{осн}$). Периметр — это сумма длин всех сторон треугольника. У нас есть основание $a=8$ см, нужно найти длину двух равных боковых сторон, обозначим их $b$.Высота, проведённая к основанию в равнобедренном треугольнике, является также медианой и делит основание пополам. Таким образом, мы получаем два прямоугольных треугольника с катетами: высота $h_a = 3$ см и половина основания $\frac{a}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см. Боковая сторона $b$ является гипотенузой.По теореме Пифагора:$b^2 = (\frac{a}{2})^2 + h_a^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$$b = \sqrt{25} = 5$ см.Теперь вычисляем периметр основания:$P_{осн} = a + 2b = 8 + 2 \cdot 5 = 8 + 10 = 18$ см.

3. Вычисление площади боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности прямой призмы ($S_{бок}$) равна произведению периметра основания на высоту призмы ($H = 6$ см):$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 18 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 108 \text{ см}^2$.

4. Вычисление площади полной поверхности.
Теперь мы можем найти площадь полной поверхности призмы, подставив найденные значения в исходную формулу:$S_{полн} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 12 \text{ см}^2 + 108 \text{ см}^2 = 24 \text{ см}^2 + 108 \text{ см}^2 = 132 \text{ см}^2$.

Ответ: $132 \text{ см}^2$.