Номер 160, страница 26 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

160. Основание прямой призмы — равнобедренный треугольник с боковой стороной 8 см и углом $120^\circ$ при вершине. Угол между диагоналями равных боковых граней, которые проведены из одной вершины основания, равен $90^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Пусть дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$, в основании которой лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB = AC = 8$ см и углом при вершине $\angle BAC = 120^\circ$.

Нахождение третьей стороны основания

Найдем длину основания $BC$ треугольника $ABC$, используя теорему косинусов:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$

Подставим известные значения:

$BC^2 = 8^2 + 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ)$

$BC^2 = 64 + 64 - 128 \cdot (-\frac{1}{2})$

$BC^2 = 128 + 64 = 192$

$BC = \sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$ см.

Нахождение высоты призмы

Поскольку призма прямая, ее боковые грани являются прямоугольниками. Так как в основании $AB = AC$, то боковые грани $ABB_1A_1$ и $ACC_1A_1$ равны. Диагонали этих граней, проведенные из одной вершины основания (например, из вершины $A$), будут равны: $AB_1 = AC_1$. По условию, угол между этими диагоналями равен $90^\circ$, то есть $\angle B_1AC_1 = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $B_1AC_1$ является прямоугольным и равнобедренным. Сторона $B_1C_1$ этого треугольника является стороной верхнего основания призмы, поэтому $B_1C_1 = BC = 8\sqrt{3}$ см.

Пусть высота призмы $H = AA_1$. Из прямоугольного треугольника $AA_1B_1$ по теореме Пифагора найдем квадрат длины диагонали $AB_1$:

$AB_1^2 = AA_1^2 + A_1B_1^2 = H^2 + 8^2 = H^2 + 64$.

Теперь применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $B_1AC_1$:

$B_1C_1^2 = AB_1^2 + AC_1^2$

Так как $AB_1 = AC_1$, получаем:

$(8\sqrt{3})^2 = (H^2 + 64) + (H^2 + 64)$

$192 = 2(H^2 + 64)$

$96 = H^2 + 64$

$H^2 = 96 - 64 = 32$

$H = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Нахождение площади боковой поверхности призмы

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ вычисляется по формуле: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $H$ — высота призмы.

Найдем периметр основания:

$P_{осн} = AB + AC + BC = 8 + 8 + 8\sqrt{3} = 16 + 8\sqrt{3}$ см.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = (16 + 8\sqrt{3}) \cdot 4\sqrt{2}$

$S_{бок} = 16 \cdot 4\sqrt{2} + 8\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{2} = 64\sqrt{2} + 32\sqrt{6}$ см$^2$.

Можно также вынести общий множитель за скобки:

$S_{бок} = 32\sqrt{2}(2 + \sqrt{3})$ см$^2$.

Ответ: $64\sqrt{2} + 32\sqrt{6}$ см$^2$.