Номер 163, страница 26 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Призма. Вариант 1. Упражнения - номер 163, страница 26.

Условие.

163. Сторона основания правильной треугольной призмы равна $a$. Через сторону основания призмы проведена плоскость, пересекающая боковое ребро призмы в его середине и образующая с плоскостью основания угол $\alpha$. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

Решение.

Решение 2.

Пусть дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Основанием призмы является правильный треугольник $ABC$ со стороной $a$. Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ правильной призмы вычисляется как произведение периметра основания $P_{осн}$ на высоту призмы $H$: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$.

Периметр основания, являющегося равносторонним треугольником со стороной $a$, равен $P_{осн} = 3a$. Высота призмы $H$ равна длине любого бокового ребра, например, $H = BB_1$. Для нахождения площади боковой поверхности необходимо найти высоту $H$.

По условию, через сторону основания, например $AC$, проведена плоскость, которая пересекает противоположное боковое ребро $BB_1$ в его середине. Обозначим эту точку пересечения как $M$. Тогда сечением является треугольник $AMC$, и длина отрезка $BM$ равна половине высоты призмы: $BM = \frac{H}{2}$.

Угол между секущей плоскостью ($AMC$) и плоскостью основания ($ABC$) по условию равен $\alpha$. Этот угол является двугранным углом, образованным плоскостями, с ребром $AC$. Для измерения двугранного угла необходимо построить его линейный угол.

Проведем в равностороннем треугольнике $ABC$ высоту и медиану $BK$ к стороне $AC$. Тогда $BK \perp AC$. Длина высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле: $BK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Так как призма правильная, то она прямая, и ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Отсюда $BB_1 \perp (ABC)$, а значит ребро $BB_1$ перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, в том числе и $BK$. Следовательно, $\triangle MKB$ — прямоугольный ($\angle MBK = 90^\circ$).

Рассмотрим наклонную $MK$ и ее проекцию $BK$ на плоскость основания. Поскольку проекция $BK$ перпендикулярна прямой $AC$, лежащей в плоскости основания, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $MK$ перпендикулярна $AC$ ($MK \perp AC$).

Поскольку $BK \perp AC$ и $MK \perp AC$, то угол $\angle MKB$ является линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания. По условию, $\angle MKB = \alpha$.

В прямоугольном треугольнике $MKB$ известны катет $BK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ и противолежащий ему катет $MB = \frac{H}{2}$. Связь между катетами и острым углом выражается через тангенс: $\tan(\alpha) = \frac{MB}{BK} = \frac{H/2}{a\sqrt{3}/2} = \frac{H}{a\sqrt{3}}$.

Выразим из этого уравнения высоту призмы $H$: $H = a\sqrt{3} \tan(\alpha)$.

Теперь можем вычислить площадь боковой поверхности призмы: $S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 3a \cdot (a\sqrt{3} \tan(\alpha)) = 3\sqrt{3} a^2 \tan(\alpha)$.

Ответ: $3\sqrt{3} a^2 \tan(\alpha)$.