Номер 169, страница 27 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

169. Основанием призмы является квадрат со стороной 6 см. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие образуют с ней угол $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если её высота равна 8 см.

Пусть основанием призмы является квадрат $ABCD$ со стороной $a = 6$ см. Высота призмы $H = 8$ см.

Призма является наклонной, так как не все боковые грани перпендикулярны основанию. В призме противоположные боковые грани параллельны и равны. Если одна грань образует с плоскостью основания некоторый угол, то и противоположная ей грань образует тот же угол. Следовательно, в данной задаче две противоположные грани перпендикулярны основанию, а две другие противоположные грани образуют угол $60^\circ$ с основанием.

Пусть грани $ABB'A'$ и $CDD'C'$ образуют с основанием угол $60^\circ$, а грани $BCC'B'$ и $DAA'D'$ перпендикулярны основанию.

Площадь граней, образующих угол $60^\circ$ с основанием

Грани $ABB'A'$ и $CDD'C'$ являются равными параллелограммами. Площадь каждой из них находится как произведение длины основания на высоту грани (апофему). Двугранный угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания равен $60^\circ$. Высота призмы $H$ и высота боковой грани $h_1$ связаны соотношением:

$H = h_1 \cdot \sin(60^\circ)$

Отсюда можно найти высоту боковой грани $h_1$:

$h_1 = \frac{H}{\sin(60^\circ)} = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{16}{\sqrt{3}}$ см.

Площадь одной такой грани $S_1$ равна:

$S_1 = a \cdot h_1 = 6 \cdot \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{96}{\sqrt{3}} = \frac{96\sqrt{3}}{3} = 32\sqrt{3}$ см².

Так как таких граней две, их суммарная площадь составляет $2S_1 = 2 \cdot 32\sqrt{3} = 64\sqrt{3}$ см².

Площадь граней, перпендикулярных основанию

Грани $BCC'B'$ и $DAA'D'$ также являются равными параллелограммами. Условие, что грань (например, $DAA'D'$) перпендикулярна плоскости основания, означает, что проекция боковых ребер (например, $AA'$ и $DD'$) на плоскость основания перпендикулярна стороне $CD$ (и $AB$). Так как основание - квадрат, эта проекция параллельна стороне $DA$.

Это означает, что высота параллелограмма $DAA'D'$, проведенная из вершины $A'$ к прямой, содержащей сторону $DA$, равна высоте самой призмы $H$.

Таким образом, площадь грани $S_2$ можно вычислить как:

$S_2 = DA \cdot H = a \cdot H = 6 \cdot 8 = 48$ см².

Так как таких граней две, их суммарная площадь составляет $2S_2 = 2 \cdot 48 = 96$ см².

Площадь боковой поверхности призмы

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ является суммой площадей всех четырёх боковых граней:

$S_{бок} = 2S_1 + 2S_2 = 64\sqrt{3} + 96$ см².

Ответ: $96 + 64\sqrt{3}$ см².