Страница 27 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

168. Основанием наклонной призмы $ABC A_1 B_1 C_1$ является равнобедренный треугольник $ABC$, $AB = AC = 10$ см, $BC = 16$ см. Боковое ребро $AA_1$ образует с плоскостью основания угол $30^\circ$, а проекцией вершины $A_1$ на плоскость $ABC$ является середина отрезка $BC$. Найдите площадь грани $BB_1 C_1 C$.

Пусть $M$ — середина отрезка $BC$. Поскольку основание призмы, треугольник $ABC$, является равнобедренным с $AB = AC$, то медиана $AM$, проведенная к основанию $BC$, также является и высотой. Следовательно, $AM \perp BC$. Найдем длину медианы $AM$ из прямоугольного треугольника $AMB$. Катет $BM$ равен половине основания $BC$: $BM = \frac{1}{2} BC = \frac{16}{2} = 8$ см. Гипотенуза $AB = 10$ см. По теореме Пифагора: $AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ см.

По условию задачи, проекцией вершины $A_1$ на плоскость основания $(ABC)$ является точка $M$. Это означает, что отрезок $A_1M$ перпендикулярен плоскости основания, то есть $A_1M \perp (ABC)$. Проекцией бокового ребра (наклонной) $AA_1$ на плоскость основания является отрезок $AM$. Угол между боковым ребром и плоскостью основания по определению — это угол между ребром и его проекцией на эту плоскость. Таким образом, $\angle A_1AM = 30^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1MA$ (с прямым углом $\angle A_1MA$). В этом треугольнике нам известен катет $AM = 6$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle A_1AM = 30^\circ$. Длину бокового ребра $AA_1$, которое является гипотенузой этого треугольника, можно найти через косинус: $\cos(\angle A_1AM) = \frac{AM}{AA_1}$ $AA_1 = \frac{AM}{\cos(30^\circ)} = \frac{6}{\sqrt{3}/2} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Все боковые ребра призмы равны и параллельны, поэтому длина ребра $BB_1$ также равна $4\sqrt{3}$ см, то есть $BB_1 = AA_1 = 4\sqrt{3}$ см. Боковая грань $BB_1C_1C$ является параллелограммом со сторонами $BC = 16$ см и $BB_1 = 4\sqrt{3}$ см. Определим, является ли этот параллелограмм прямоугольником. Для этого проверим, перпендикулярны ли его смежные стороны $BC$ и $BB_1$. Мы знаем, что $A_1M \perp (ABC)$, а значит $A_1M \perp BC$. Также мы установили, что $AM \perp BC$. Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AM$ и $A_1M$) в плоскости $(A_1MA)$, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $BC$ перпендикулярна всей плоскости $(A_1MA)$. Боковое ребро $AA_1$ лежит в плоскости $(A_1MA)$, следовательно, $BC \perp AA_1$. Так как боковые ребра призмы параллельны ($BB_1 \parallel AA_1$), то из $BC \perp AA_1$ следует, что $BC \perp BB_1$. Это означает, что параллелограмм $BB_1C_1C$ на самом деле является прямоугольником.

Площадь прямоугольника $BB_1C_1C$ равна произведению длин его смежных сторон: $S_{BB_1C_1C} = BC \cdot BB_1 = 16 \cdot 4\sqrt{3} = 64\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $64\sqrt{3}$ см$^2$.

169. Основанием призмы является квадрат со стороной 6 см. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие образуют с ней угол $60^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если её высота равна 8 см.

Пусть основанием призмы является квадрат $ABCD$ со стороной $a = 6$ см. Высота призмы $H = 8$ см.

Призма является наклонной, так как не все боковые грани перпендикулярны основанию. В призме противоположные боковые грани параллельны и равны. Если одна грань образует с плоскостью основания некоторый угол, то и противоположная ей грань образует тот же угол. Следовательно, в данной задаче две противоположные грани перпендикулярны основанию, а две другие противоположные грани образуют угол $60^\circ$ с основанием.

Пусть грани $ABB'A'$ и $CDD'C'$ образуют с основанием угол $60^\circ$, а грани $BCC'B'$ и $DAA'D'$ перпендикулярны основанию.

Площадь граней, образующих угол $60^\circ$ с основанием

Грани $ABB'A'$ и $CDD'C'$ являются равными параллелограммами. Площадь каждой из них находится как произведение длины основания на высоту грани (апофему). Двугранный угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания равен $60^\circ$. Высота призмы $H$ и высота боковой грани $h_1$ связаны соотношением:

$H = h_1 \cdot \sin(60^\circ)$

Отсюда можно найти высоту боковой грани $h_1$:

$h_1 = \frac{H}{\sin(60^\circ)} = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{16}{\sqrt{3}}$ см.

Площадь одной такой грани $S_1$ равна:

$S_1 = a \cdot h_1 = 6 \cdot \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{96}{\sqrt{3}} = \frac{96\sqrt{3}}{3} = 32\sqrt{3}$ см².

Так как таких граней две, их суммарная площадь составляет $2S_1 = 2 \cdot 32\sqrt{3} = 64\sqrt{3}$ см².

Площадь граней, перпендикулярных основанию

Грани $BCC'B'$ и $DAA'D'$ также являются равными параллелограммами. Условие, что грань (например, $DAA'D'$) перпендикулярна плоскости основания, означает, что проекция боковых ребер (например, $AA'$ и $DD'$) на плоскость основания перпендикулярна стороне $CD$ (и $AB$). Так как основание - квадрат, эта проекция параллельна стороне $DA$.

Это означает, что высота параллелограмма $DAA'D'$, проведенная из вершины $A'$ к прямой, содержащей сторону $DA$, равна высоте самой призмы $H$.

Таким образом, площадь грани $S_2$ можно вычислить как:

$S_2 = DA \cdot H = a \cdot H = 6 \cdot 8 = 48$ см².

Так как таких граней две, их суммарная площадь составляет $2S_2 = 2 \cdot 48 = 96$ см².

Площадь боковой поверхности призмы

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ является суммой площадей всех четырёх боковых граней:

$S_{бок} = 2S_1 + 2S_2 = 64\sqrt{3} + 96$ см².

Ответ: $96 + 64\sqrt{3}$ см².

Параллелепипед

170. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 5 см и 6 см, а диагональ — $ \sqrt{65} $ см. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны $a$ и $b$, а его высота равна $c$. По условию задачи дано, что $a = 5$ см и $b = 6$ см. Диагональ всего параллелепипеда $d = \sqrt{65}$ см.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины и высоты). Формула для квадрата диагонали выглядит следующим образом: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Мы можем использовать эту формулу, чтобы найти высоту параллелепипеда $c$. Подставим известные значения: $(\sqrt{65})^2 = 5^2 + 6^2 + c^2$ $65 = 25 + 36 + c^2$ $65 = 61 + c^2$ $c^2 = 65 - 61$ $c^2 = 4$ $c = \sqrt{4} = 2$ см.

Теперь, когда известны все три измерения параллелепипеда ($a=5$ см, $b=6$ см, $c=2$ см), мы можем найти площадь его полной поверхности. Площадь полной поверхности $S_{полн}$ вычисляется как сумма площадей всех его шести граней по формуле: $S_{полн} = 2(ab + ac + bc)$

Подставим значения $a$, $b$ и $c$ в формулу площади полной поверхности: $S_{полн} = 2(5 \cdot 6 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 2)$ $S_{полн} = 2(30 + 10 + 12)$ $S_{полн} = 2(52)$ $S_{полн} = 104 \text{ см}^2$.

Ответ: $104 \text{ см}^2$.

171. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если она больше его измерений на 10 см, 9 см и 1 см.

Пусть $d$ — длина диагонали прямоугольного параллелепипеда, а $a$, $b$ и $c$ — его измерения (длина, ширина и высота).

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений. Это соотношение выражается формулой:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Согласно условию задачи, диагональ больше его измерений на 10 см, 9 см и 1 см. Запишем эти условия в виде уравнений:

$d = a + 10$
$d = b + 9$
$d = c + 1$

Выразим измерения $a$, $b$ и $c$ через диагональ $d$:

$a = d - 10$
$b = d - 9$
$c = d - 1$

Подставим полученные выражения в основную формулу для квадрата диагонали:

$d^2 = (d - 10)^2 + (d - 9)^2 + (d - 1)^2$

Раскроем скобки в правой части уравнения, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$d^2 = (d^2 - 2 \cdot d \cdot 10 + 10^2) + (d^2 - 2 \cdot d \cdot 9 + 9^2) + (d^2 - 2 \cdot d \cdot 1 + 1^2)$

$d^2 = (d^2 - 20d + 100) + (d^2 - 18d + 81) + (d^2 - 2d + 1)$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$d^2 = (d^2+d^2+d^2) + (-20d-18d-2d) + (100+81+1)$

$d^2 = 3d^2 - 40d + 182$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3d^2 - d^2 - 40d + 182 = 0$

$2d^2 - 40d + 182 = 0$

Для упрощения разделим обе части уравнения на 2:

$d^2 - 20d + 91 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 91 = 400 - 364 = 36$

Найдем корни уравнения:

$d_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + \sqrt{36}}{2} = \frac{20 + 6}{2} = \frac{26}{2} = 13$

$d_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - \sqrt{36}}{2} = \frac{20 - 6}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Мы получили два возможных значения для диагонали. Теперь необходимо проверить, соответствуют ли они условию задачи. Измерения параллелепипеда $a, b, c$ должны быть положительными числами.

Проверим корень $d = 7$. В этом случае измерение $a = d - 10 = 7 - 10 = -3$ см. Так как длина стороны не может быть отрицательной, это значение не является решением задачи.

Проверим корень $d = 13$. Найдем соответствующие измерения:

$a = 13 - 10 = 3$ см
$b = 13 - 9 = 4$ см
$c = 13 - 1 = 12$ см

Все измерения имеют положительные значения, следовательно, это решение является верным.

Ответ: 13 см.

172. Основанием прямоугольного параллелепипеда является квадрат. Найдите высоту параллелепипеда, если площадь его полной поверхности равна $160 \text{ см}^2$, а площадь боковой поверхности — $128 \text{ см}^2$.

Пусть $a$ — сторона квадрата, лежащего в основании прямоугольного параллелепипеда, а $h$ — его высота.

Площадь полной поверхности $S_{полн}$ складывается из площади боковой поверхности $S_{бок}$ и удвоенной площади основания $S_{осн}$:
$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

Подставим известные значения, чтобы найти площадь основания:
$160 \text{ см}^2 = 128 \text{ см}^2 + 2 \cdot S_{осн}$
$2 \cdot S_{осн} = 160 - 128$
$2 \cdot S_{осн} = 32 \text{ см}^2$
$S_{осн} = \frac{32}{2} = 16 \text{ см}^2$

Так как основанием является квадрат, то его площадь равна $a^2$. Найдем сторону основания $a$:
$a^2 = 16 \text{ см}^2$
$a = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$

Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot h$, где $P_{осн}$ — периметр основания.
Периметр квадрата в основании равен:
$P_{осн} = 4a = 4 \cdot 4 = 16 \text{ см}$

Теперь, зная площадь боковой поверхности и периметр основания, найдем высоту $h$:
$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$
$128 = 16 \cdot h$
$h = \frac{128}{16}$
$h = 8 \text{ см}$

Ответ: 8 см.

173. Найдите ребро куба, если площадь его диагонального сечения равна $16\sqrt{2}$ см².

Пусть ребро куба равно $a$.

Диагональное сечение куба — это прямоугольник, сторонами которого являются ребро куба и диагональ его грани.

Одна сторона сечения равна ребру куба, то есть $a$.

Другая сторона сечения — это диагональ $d$ грани куба (которая является квадратом со стороной $a$). По теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Площадь $S$ диагонального сечения равна произведению его сторон: $S = a \cdot d = a \cdot a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2}$.

По условию задачи, площадь сечения равна $16\sqrt{2}$ см². Составим и решим уравнение: $a^2\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$.

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{2}$: $a^2 = 16$.

Так как длина ребра $a$ может быть только положительным числом, находим: $a = \sqrt{16} = 4$ (см).

Ответ: 4 см.

174. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 16 см и 10 см, а острый угол — 60°. Найдите большую диагональ параллелепипеда, если его высота равна $4\sqrt{10}$ см.

Пусть стороны основания прямого параллелепипеда равны $a = 16$ см и $b = 10$ см, а острый угол между ними $\alpha = 60^\circ$. Высота параллелепипеда равна $h = 4\sqrt{10}$ см.

Основанием прямого параллелепипеда является параллелограмм. У этого параллелограмма есть две диагонали: меньшая, лежащая напротив острого угла, и большая, лежащая напротив тупого угла. Большая диагональ параллелепипеда ($D$) образует прямоугольный треугольник с высотой параллелепипеда ($h$) и большей диагональю основания ($d$). Квадрат большей диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его высоты и квадрата большей диагонали основания: $D^2 = d^2 + h^2$.

Сначала найдем большую диагональ основания. Тупой угол параллелограмма равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. По теореме косинусов найдем квадрат большей диагонали основания ($d$):$d^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(120^\circ)$Подставим известные значения:$d^2 = 16^2 + 10^2 - 2 \cdot 16 \cdot 10 \cdot (-\frac{1}{2})$$d^2 = 256 + 100 - 320 \cdot (-\frac{1}{2})$$d^2 = 356 + 160 = 516$ см$^2$.

Теперь найдем большую диагональ параллелепипеда ($D$), используя теорему Пифагора:$D^2 = d^2 + h^2$Подставим значения $d^2$ и $h$:$D^2 = 516 + (4\sqrt{10})^2$$D^2 = 516 + 16 \cdot 10$$D^2 = 516 + 160 = 676$ см$^2$.

Чтобы найти длину диагонали, извлечем квадратный корень:$D = \sqrt{676} = 26$ см.

Ответ: 26 см.

175. Основанием прямого параллелепипеда является ромб.

Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если площади его диагональных сечений равны $6 \text{ см}^2$ и $8 \text{ см}^2$.

Пусть основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной $a$ и диагоналями $d_1$ и $d_2$. Высота параллелепипеда равна $h$.

Диагональные сечения прямого параллелепипеда представляют собой прямоугольники. Их площади $S_1$ и $S_2$ равны произведению соответствующей диагонали основания на высоту параллелепипеда. Согласно условию задачи:

$S_1 = d_1 \cdot h = 6$ см²

$S_2 = d_2 \cdot h = 8$ см²

Из этих уравнений можно выразить длины диагоналей через высоту: $d_1 = \frac{6}{h}$ и $d_2 = \frac{8}{h}$.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Поэтому для ромба справедливо свойство, связывающее его сторону и диагонали (оно следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, катетами которого являются половины диагоналей, а гипотенузой — сторона ромба):

$(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2$

$d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$

Подставим в это равенство выражения для $d_1$ и $d_2$, полученные ранее:

$(\frac{6}{h})^2 + (\frac{8}{h})^2 = 4a^2$

$\frac{36}{h^2} + \frac{64}{h^2} = 4a^2$

$\frac{100}{h^2} = 4a^2$

Умножим обе части уравнения на $h^2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$100 = 4a^2h^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (поскольку длины $a$ и $h$ являются положительными величинами):

$\sqrt{100} = \sqrt{4a^2h^2}$

$10 = 2ah$

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ прямого параллелепипеда вычисляется как произведение периметра его основания $P_{осн}$ на высоту $h$:

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h$

Периметр основания (ромба) равен $P_{осн} = 4a$. Тогда формула для площади боковой поверхности принимает вид:

$S_{бок} = 4a \cdot h = 4ah$

Ранее мы получили, что $2ah = 10$. Чтобы найти $4ah$, достаточно умножить это равенство на 2:

$S_{бок} = 2 \cdot (2ah) = 2 \cdot 10 = 20$ см²

Ответ: $20$ см²

176. Основанием параллелепипеда является ромб с углом $60^\circ$. Боковое ребро, выходящее из вершины этого угла, образует с каждой из его сторон угол $45^\circ$. Найдите высоту параллелепипеда, если его боковое ребро равно $6$ см.

Обозначим параллелепипед как $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Основание $ABCD$ — ромб с углом $\angle BAD = 60^\circ$. Боковое ребро, выходящее из вершины $A$, это $AA_1$. По условию, его длина $l = AA_1 = 6$ см. Это ребро образует со сторонами ромба $AB$ и $AD$ углы, равные $45^\circ$, то есть $\angle A_1AB = \angle A_1AD = 45^\circ$.

Найдем высоту параллелепипеда $H$. Высота — это длина перпендикуляра, опущенного из любой вершины верхнего основания на плоскость нижнего основания. Опустим высоту $A_1O$ из вершины $A_1$ на плоскость основания $ABCD$. Таким образом, $H = A_1O$.

Точка $O$ является проекцией точки $A_1$ на плоскость $(ABC)$. Отрезок $AO$ является проекцией бокового ребра $A_1A$ на ту же плоскость.

Поскольку боковое ребро $A_1A$ образует равные углы со сторонами $AB$ и $AD$, его проекция $AO$ на плоскость основания будет лежать на биссектрисе угла $\angle BAD$. В ромбе биссектриса угла является его диагональю. Следовательно, точка $O$ лежит на диагонали $AC$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. Таким образом, угол наклона бокового ребра $A_1A$ к плоскости основания равен $\angle A_1AO$. Обозначим этот угол $\gamma$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle A_1OA$ (где $\angle A_1OA = 90^\circ$) высота $H$ выражается как:
$H = A_1O = A_1A \cdot \sin(\gamma) = 6 \cdot \sin(\gamma)$.

Для нахождения $\sin(\gamma)$ воспользуемся свойством проекций. Проекция отрезка $A_1A$ на прямую $AB$ равна произведению длины этого отрезка на косинус угла между ними:
$Пр_{AB} A_1A = A_1A \cdot \cos(\angle A_1AB) = 6 \cdot \cos(45^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$.

С другой стороны, проекция отрезка на прямую равна проекции его проекции на эту же прямую. То есть, проекция $A_1A$ на прямую $AB$ равна проекции отрезка $AO$ (проекции $A_1A$ на плоскость) на прямую $AB$.
$Пр_{AB} AO = AO \cdot \cos(\angle OAB)$.

Угол $\angle OAB$ — это угол между диагональю $AC$ и стороной $AB$ ромба. Так как диагональ является биссектрисой, то $\angle OAB = \frac{1}{2}\angle BAD = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.
Из треугольника $\triangle A_1OA$ мы знаем, что $AO = A_1A \cdot \cos(\gamma) = 6 \cos(\gamma)$.

Приравняем два выражения для проекции на прямую $AB$:
$Пр_{AB} A_1A = Пр_{AB} AO$
$3\sqrt{2} = AO \cdot \cos(30^\circ)$
$3\sqrt{2} = (6 \cos(\gamma)) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$3\sqrt{2} = 3\sqrt{3} \cos(\gamma)$

Отсюда находим $\cos(\gamma)$:
$\cos(\gamma) = \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$.

Теперь, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1$, найдем $\sin(\gamma)$:
$\sin^2(\gamma) = 1 - \cos^2(\gamma) = 1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^2 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
Поскольку $\gamma$ — острый угол, $\sin(\gamma) = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Наконец, вычисляем высоту $H$:
$H = 6 \cdot \sin(\gamma) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.