Страница 31 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

205. Боковые грани $DAB$ и $DAC$ пирамиды $DABC$ перпендикулярны плоскости основания, $AB = AC = 15$ см, $BC = 18$ см, $DA = 5$ см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей ее боковых граней: $S_{бок} = S_{\triangle DAB} + S_{\triangle DAC} + S_{\triangle DBC}$.

По условию, боковые грани $DAB$ и $DAC$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Так как эти две плоскости пересекаются по прямой $DA$, то их линия пересечения $DA$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$. Это означает, что $DA$ является высотой пирамиды, а треугольники $DAB$ и $DAC$ являются прямоугольными (с прямыми углами при вершине $A$).

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Найдем площади граней $DAB$ и $DAC$.

$S_{\triangle DAB} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 15 = 37,5$ см².

$S_{\triangle DAC} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 15 = 37,5$ см².

Теперь найдем площадь грани $DBC$. Для этого нам понадобится ее высота, проведенная из вершины $D$ к основанию $BC$.

Рассмотрим треугольник в основании $ABC$. Он равнобедренный, так как $AB = AC = 15$ см. Проведем в нем высоту $AH$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому точка $H$ — середина отрезка $BC$.

$HC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ см.

Из прямоугольного треугольника $AHC$ по теореме Пифагора найдем высоту $AH$:

$AH = \sqrt{AC^2 - HC^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь применим теорему о трех перпендикулярах. У нас есть перпендикуляр $DA$ к плоскости $ABC$ и наклонная $DH$ к этой плоскости. Прямая $AH$ является проекцией наклонной $DH$ на плоскость $ABC$. Так как проекция $AH$ перпендикулярна прямой $BC$ (по построению), то и сама наклонная $DH$ перпендикулярна прямой $BC$. Следовательно, $DH$ является высотой треугольника $DBC$.

Найдем длину высоты $DH$ из прямоугольного треугольника $DAH$ (угол $DAH = 90^\circ$, так как $DA \perp (ABC)$). По теореме Пифагора:

$DH = \sqrt{DA^2 + AH^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь грани $DBC$:

$S_{\triangle DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 13 = 9 \cdot 13 = 117$ см².

Наконец, найдем общую площадь боковой поверхности пирамиды, сложив площади трех боковых граней:

$S_{бок} = S_{\triangle DAB} + S_{\triangle DAC} + S_{\triangle DBC} = 37,5 + 37,5 + 117 = 75 + 117 = 192$ см².

Ответ: 192 см².

206. Боковые грани $MAB$ и $MAC$ пирамиды $MABC$ перпендикулярны плоскости основания, $AB = 13$ см, $BC = 14$ см, $AC = 15$ см, $MA = 12$ см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ — это сумма площадей ее боковых граней: $\triangle MAB$, $\triangle MAC$ и $\triangle MBC$.

$S_{бок} = S_{\triangle MAB} + S_{\triangle MAC} + S_{\triangle MBC}$

Согласно условию, боковые грани $MAB$ и $MAC$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то их линия пересечения также перпендикулярна этой третьей плоскости. Линией пересечения граней $MAB$ и $MAC$ является ребро $MA$. Следовательно, ребро $MA$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, то есть $MA$ — высота пирамиды.

Поскольку $MA \perp (ABC)$, ребро $MA$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости основания и проходящей через точку $A$. Таким образом, $MA \perp AB$ и $MA \perp AC$. Это значит, что треугольники $\triangle MAB$ и $\triangle MAC$ являются прямоугольными, с прямым углом при вершине $A$.

Вычислим площади этих двух граней как половины произведения их катетов:
$S_{\triangle MAB} = \frac{1}{2} \cdot MA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 13 = 78$ см².
$S_{\triangle MAC} = \frac{1}{2} \cdot MA \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 15 = 90$ см².

Далее найдем площадь третьей боковой грани, $\triangle MBC$. Для этого проведем высоту $MH$ из вершины $M$ к стороне $BC$.
В плоскости основания $ABC$ проведем высоту $AH$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Так как $MA$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, а $AH$ — проекция наклонной $MH$ на эту плоскость, и по построению $AH \perp BC$, то по теореме о трех перпендикулярах наклонная $MH$ также перпендикулярна $BC$. Следовательно, $MH$ является высотой треугольника $\triangle MBC$.

Чтобы найти длину $MH$, сначала найдем длину высоты $AH$ треугольника $ABC$. Для этого вычислим площадь $\triangle ABC$ по формуле Герона, используя длины его сторон: $a = BC = 14$ см, $b = AC = 15$ см, $c = AB = 13$ см.
Полупериметр $p$ равен:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{14+15+13}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.
Площадь $S_{\triangle ABC}$ равна:
$S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-14)(21-15)(21-13)} = \sqrt{21 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 8} = \sqrt{7056} = 84$ см².
Теперь, зная площадь, найдем высоту $AH$ по формуле $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH$:
$AH = \frac{2 \cdot S_{\triangle ABC}}{BC} = \frac{2 \cdot 84}{14} = \frac{168}{14} = 12$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle MAH$. Он является прямоугольным, так как $MA \perp AH$ (поскольку $MA$ перпендикулярно всей плоскости основания). По теореме Пифагора найдем гипотенузу $MH$:
$MH = \sqrt{MA^2 + AH^2} = \sqrt{12^2 + 12^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{2 \cdot 144} = 12\sqrt{2}$ см.

Теперь, зная высоту $MH$ треугольника $\triangle MBC$, можем найти его площадь:
$S_{\triangle MBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12\sqrt{2} = 7 \cdot 12\sqrt{2} = 84\sqrt{2}$ см².

Наконец, сложим площади всех трех боковых граней, чтобы найти общую площадь боковой поверхности пирамиды:
$S_{бок} = S_{\triangle MAB} + S_{\triangle MAC} + S_{\triangle MBC} = 78 + 90 + 84\sqrt{2} = 168 + 84\sqrt{2}$ см².

Ответ: $168 + 84\sqrt{2}$ см².

207. Основанием пирамиды является квадрат. Две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а каждая из двух других образует с ней угол $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если её наименьшее боковое ребро равно 4 см.

Пусть дана пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадрат в основании, а $S$ — вершина.

1. Анализ условия и построение

По условию, две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Пусть это будут грани $(SAB)$ и $(SAD)$. Если две плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Линией пересечения граней $(SAB)$ и $(SAD)$ является боковое ребро $SA$. Следовательно, ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания $(ABCD)$, то есть $SA$ является высотой пирамиды.

Из того, что $SA \perp (ABCD)$, следует, что $SA \perp AB$ и $SA \perp AD$. Значит, треугольники $\triangle SAB$ и $\triangle SAD$ являются прямоугольными (с прямым углом при вершине $A$).

Две другие боковые грани, $(SBC)$ и $(SCD)$, образуют с плоскостью основания угол $30^\circ$. Угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания — это линейный угол двугранного угла.
Рассмотрим грань $(SBC)$. Линия пересечения с основанием — $BC$. Так как $ABCD$ — квадрат, то $AB \perp BC$. $AB$ является проекцией наклонной $SB$ на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах, так как проекция $AB$ перпендикулярна прямой $BC$ в плоскости, то и сама наклонная $SB$ перпендикулярна $BC$. Значит, $\triangle SBC$ — прямоугольный с $\angle SBC = 90^\circ$.
Угол между плоскостями $(SBC)$ и $(ABCD)$ — это угол между перпендикулярами к их общей прямой $BC$. Такими перпендикулярами являются $AB$ и $SB$. Следовательно, $\angle SBA = 30^\circ$.
Аналогично для грани $(SCD)$: $AD \perp CD$, $AD$ — проекция $SD$, значит $SD \perp CD$. $\triangle SCD$ — прямоугольный с $\angle SDC = 90^\circ$. Угол между плоскостями $(SCD)$ и $(ABCD)$ равен $\angle SDA = 30^\circ$.

2. Нахождение стороны основания

Найдем длины боковых ребер. Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$.
Из прямоугольного $\triangle SAB$:
$SA = AB \cdot \tan(\angle SBA) = a \cdot \tan(30^\circ) = a \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
$SB = \frac{AB}{\cos(\angle SBA)} = \frac{a}{\cos(30^\circ)} = \frac{a}{\sqrt{3}/2} = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.
Так как $\triangle SAB \cong \triangle SAD$ (по двум катетам $SA$ и $AB=AD$), то $SD = SB = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.
Ребро $SC$ найдем из прямоугольного $\triangle SBC$ по теореме Пифагора:
$SC^2 = SB^2 + BC^2 = (\frac{2a}{\sqrt{3}})^2 + a^2 = \frac{4a^2}{3} + a^2 = \frac{7a^2}{3}$.
$SC = \sqrt{\frac{7a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$.

Сравним длины боковых ребер: $SA = \frac{a}{\sqrt{3}}$, $SB = SD = \frac{2a}{\sqrt{3}}$, $SC = \frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$.
Так как $1 < 2 < \sqrt{7}$, наименьшим боковым ребром является $SA$.
По условию, наименьшее боковое ребро равно 4 см, следовательно, $SA = 4$ см.

Теперь найдем сторону основания $a$:
$SA = \frac{a}{\sqrt{3}} \Rightarrow 4 = \frac{a}{\sqrt{3}} \Rightarrow a = 4\sqrt{3}$ см.

3. Вычисление площади боковой поверхности

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей четырех боковых граней:
$S_{бок} = S_{\triangle SAB} + S_{\triangle SAD} + S_{\triangle SBC} + S_{\triangle SCD}$.

Площадь $\triangle SAB$:
$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см$^2$.
Так как $\triangle SAD \cong \triangle SAB$, то $S_{\triangle SAD} = 8\sqrt{3}$ см$^2$.

Для нахождения площадей $\triangle SBC$ и $\triangle SCD$ нам понадобится длина ребра $SB$.
$SB = \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8$ см.
Площадь прямоугольного $\triangle SBC$:
$S_{\triangle SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 8 = 16\sqrt{3}$ см$^2$.
Так как $\triangle SCD \cong \triangle SBC$, то $S_{\triangle SCD} = 16\sqrt{3}$ см$^2$.

Суммируем площади всех граней:
$S_{бок} = 8\sqrt{3} + 8\sqrt{3} + 16\sqrt{3} + 16\sqrt{3} = (16+32)\sqrt{3} = 48\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $48\sqrt{3}$ см$^2$.

208. Боковая грань $VMC$ пирамиды $MABC$ перпендикулярна плоскости основания, а двугранные углы пирамиды при рёбрах $AC$ и $BC$ равны $30^\circ$. Найдите ребро $MC$, если $\angle ACB = 90^\circ$, $\angle BAC = 60^\circ$, $AC = 4\sqrt{3}$ см.

В условии задачи содержится противоречие. С одной стороны, указано, что боковая грань $BMC$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$, что означает, что двугранный угол при ребре $BC$ равен $90^\circ$. С другой стороны, дано, что этот же угол равен $30^\circ$. Для решения задачи предположим, что в условии допущена опечатка, и двугранный угол $30^\circ$ относится к ребру $AB$, а не к $BC$.

Итак, будем решать задачу при следующих условиях:
1. Боковая грань $BMC$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$.
2. Двугранный угол при ребре $AC$ равен $30^\circ$.
3. Двугранный угол при ребре $AB$ равен $30^\circ$.

1. Анализ основания.
В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник $ABC$ с $\angle ACB = 90^\circ$.
Дано: $\angle BAC = 60^\circ$ и $AC = 4\sqrt{3}$ см.
Найдем остальные элементы треугольника:
$\angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
Катет $BC$ можно найти через тангенс угла $A$:
$BC = AC \cdot \tan(\angle BAC) = 4\sqrt{3} \cdot \tan(60^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 12$ см.

2. Положение высоты пирамиды.
Так как плоскость грани $BMC$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$, то высота пирамиды $MH$, опущенная из вершины $M$ на плоскость основания, будет лежать в грани $BMC$. Это означает, что основание высоты $H$ лежит на линии пересечения плоскостей, то есть на ребре $BC$. Таким образом, $MH \perp (ABC)$ и $H \in BC$.

3. Использование двугранных углов для определения положения точки H.
а) Двугранный угол при ребре $AC$ равен $30^\circ$.
Линейный угол двугранного угла строится с помощью двух перпендикуляров к ребру, проведенных в гранях из одной точки.В плоскости основания $ABC$ имеем $BC \perp AC$ (так как $\angle ACB = 90^\circ$). Поскольку $H \in BC$, то и $HC \perp AC$.
Рассмотрим наклонную $MC$ и ее проекцию $HC$ на плоскость основания. Так как проекция $HC$ перпендикулярна прямой $AC$ в плоскости основания, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $MC$ перпендикулярна $AC$ ($MC \perp AC$).
Следовательно, угол $\angle MCB$ является линейным углом двугранного угла при ребре $AC$.Значит, $\angle MCB = 30^\circ$.В прямоугольном треугольнике $MHC$ (где $\angle MHC = 90^\circ$):$MH = HC \cdot \tan(\angle MCH) = HC \cdot \tan(30^\circ) = \frac{HC}{\sqrt{3}}$.

б) Двугранный угол при ребре $AB$ равен $30^\circ$.
Для построения линейного угла проведем из точки $H$ перпендикуляр $HK$ к ребру $AB$ ($HK \perp AB$).
Так как $MH$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, а $HK$ — проекция наклонной $MK$ на эту плоскость, и $HK \perp AB$, то по теореме о трех перпендикулярах $MK \perp AB$.
Следовательно, угол $\angle MKH$ является линейным углом двугранного угла при ребре $AB$.Значит, $\angle MKH = 30^\circ$.
В прямоугольном треугольнике $MKH$ (где $\angle MHK = 90^\circ$):$MH = HK \cdot \tan(\angle MKH) = HK \cdot \tan(30^\circ) = \frac{HK}{\sqrt{3}}$.

в) Определение положения точки H.
Из двух выражений для высоты $MH$ следует, что $HC = HK$. То есть, точка $H$ на катете $BC$ равноудалена от вершины $C$ и от гипотенузы $AB$.
Найдем расстояние $HK$. Введем систему координат с началом в точке $C(0, 0)$. Ось $x$ направим вдоль луча $CB$, а ось $y$ — вдоль луча $CA$.Координаты вершин основания: $C(0, 0)$, $B(12, 0)$, $A(0, 4\sqrt{3})$.
Точка $H$ лежит на $BC$, ее координаты $H(x_h, 0)$, где $x_h = HC$.Уравнение прямой $AB$: $\frac{x}{12} + \frac{y}{4\sqrt{3}} = 1$. Умножим на $12\sqrt{3}$: $\sqrt{3}x + 3y - 12\sqrt{3} = 0$.Расстояние $HK$ от точки $H(x_h, 0)$ до прямой $AB$ вычисляется по формуле:$HK = \frac{|\sqrt{3}x_h + 3 \cdot 0 - 12\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2}} = \frac{|\sqrt{3}(x_h - 12)|}{\sqrt{3+9}} = \frac{\sqrt{3}|x_h - 12|}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{3}|x_h - 12|}{2\sqrt{3}} = \frac{|x_h - 12|}{2}$.Так как $H$ лежит на отрезке $BC$, то $0 \le x_h \le 12$, поэтому $x_h - 12 \le 0$, и $|x_h - 12| = 12 - x_h$.$HK = \frac{12 - x_h}{2}$.
Приравниваем $HC$ и $HK$:$x_h = \frac{12 - x_h}{2}$
$2x_h = 12 - x_h$
$3x_h = 12$
$x_h = 4$.Таким образом, $HC = 4$ см.

4. Нахождение ребра MC.
Теперь мы можем найти высоту пирамиды $MH$:$MH = \frac{HC}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ см.
Искомое ребро $MC$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $MHC$. По теореме Пифагора:$MC^2 = MH^2 + HC^2$
$MC^2 = \left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^2 + 4^2 = \frac{16}{3} + 16 = \frac{16 + 48}{3} = \frac{64}{3}$
$MC = \sqrt{\frac{64}{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

209. Основанием пирамиды $MABCD$ является прямоугольник $ABCD$, в котором $AB = 8$ см, $AD = 2\sqrt{37}$ см. Грань $MAB$ перпендикулярна плоскости основания, а двугранные углы пирамиды при рёбрах $AD$ и $BC$ равны $60^\circ$. Найдите площадь грани $CMD$.

Поскольку основанием пирамиды MABCD является прямоугольник ABCD, то $AB \parallel CD$ и $AD \parallel BC$, а также $AB \perp AD$ и $AB \perp BC$.

По условию, плоскость грани $(MAB)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABCD)$. Линия пересечения этих плоскостей - прямая $AB$.

Рассмотрим двугранный угол при ребре $AD$. Так как $AD \perp AB$ (свойство прямоугольника) и $AB$ является линией пересечения плоскостей $(MAB)$ и $(ABCD)$, то прямая $AD$ перпендикулярна всей плоскости $(MAB)$. Следовательно, $AD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $MA$. Таким образом, $MA \perp AD$.

Линейный угол двугранного угла измеряется углом между двумя перпендикулярами к ребру, проведенными в гранях из одной точки. Так как $MA \perp AD$ и $AB \perp AD$, то угол $\angle MAB$ является линейным углом двугранного угла при ребре $AD$. По условию, его величина равна 60°, то есть $\angle MAB = 60°$.

Аналогично рассмотрим двугранный угол при ребре $BC$. Так как $BC \perp AB$ (свойство прямоугольника), то прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $(MAB)$. Следовательно, $BC$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $MB$. Таким образом, $MB \perp BC$.

Линейным углом двугранного угла при ребре $BC$ является угол $\angle MBA$, так как $MB \perp BC$ и $AB \perp BC$. По условию, его величина равна 60°, то есть $\angle MBA = 60°$.

Рассмотрим треугольник $\triangle MAB$. В нем известны два угла: $\angle MAB = 60°$ и $\angle MBA = 60°$. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, $\angle AMB = 180° - 60° - 60° = 60°$. Таким образом, $\triangle MAB$ является равносторонним. Так как $AB = 8$ см, то $MA = MB = 8$ см.

Теперь найдем стороны треугольника $\triangle CMD$.

Сторона $CD$ равна стороне $AB$ прямоугольника $ABCD$, поэтому $CD = 8$ см.

Сторону $MD$ найдем из прямоугольного треугольника $\triangle MAD$ (угол $\angle MAD = 90°$, так как $MA \perp AD$). По теореме Пифагора:

$MD^2 = MA^2 + AD^2 = 8^2 + (2\sqrt{37})^2 = 64 + 4 \cdot 37 = 64 + 148 = 212$.

$MD = \sqrt{212} = \sqrt{4 \cdot 53} = 2\sqrt{53}$ см.

Сторону $CM$ найдем из прямоугольного треугольника $\triangle MBC$ (угол $\angle MBC = 90°$, так как $MB \perp BC$). Сторона $BC = AD = 2\sqrt{37}$ см. По теореме Пифагора:

$CM^2 = MB^2 + BC^2 = 8^2 + (2\sqrt{37})^2 = 64 + 4 \cdot 37 = 64 + 148 = 212$.

$CM = \sqrt{212} = \sqrt{4 \cdot 53} = 2\sqrt{53}$ см.

Треугольник $\triangle CMD$ является равнобедренным, так как $CM=MD=2\sqrt{53}$ см. Основание $CD = 8$ см. Найдем его площадь. Проведем высоту $MK$ к основанию $CD$. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому $K$ - середина $CD$, и $CK = \frac{1}{2}CD = 4$ см.

Из прямоугольного треугольника $\triangle MKC$ по теореме Пифагора найдем высоту $MK$:

$MK^2 = CM^2 - CK^2 = (2\sqrt{53})^2 - 4^2 = 212 - 16 = 196$.

$MK = \sqrt{196} = 14$ см.

Площадь треугольника $\triangle CMD$ равна:

$S_{CMD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 14 = 56$ см².

Ответ: $56$ см².

Усечённая пирамида

210. Стороны оснований правильной усечённой шестиугольной пирамиды равны 4 см и 8 см, а боковое ребро — $ \sqrt{7} $ см. Найдите площадь полной поверхности усечённой пирамиды.

Площадь полной поверхности усечённой пирамиды $S_{полн}$ вычисляется по формуле, которая представляет собой сумму площадей боковой поверхности и двух оснований:

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн1} + S_{осн2}$

где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, $S_{осн1}$ — площадь большего основания, а $S_{осн2}$ — площадь меньшего основания.

Решим задачу по шагам.

1. Нахождение площадей оснований

Основаниями правильной усечённой шестиугольной пирамиды являются правильные шестиугольники. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{шест} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

Сторона большего основания $a_1 = 8$ см. Вычислим его площадь:

$S_{осн1} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a_1^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 8^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 64 = 3 \cdot 32\sqrt{3} = 96\sqrt{3}$ см².

Сторона меньшего основания $a_2 = 4$ см. Вычислим его площадь:

$S_{осн2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a_2^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 16 = 3 \cdot 8\sqrt{3} = 24\sqrt{3}$ см².

2. Нахождение площади боковой поверхности

Боковая поверхность пирамиды состоит из 6 одинаковых равнобедренных трапеций. Основания каждой трапеции — это стороны оснований пирамиды ($a_1 = 8$ см и $a_2 = 4$ см), а боковая сторона — это боковое ребро пирамиды ($l = \sqrt{7}$ см).

Для вычисления площади трапеции нам нужна ее высота, которая также является апофемой усеченной пирамиды. Обозначим ее $h_a$. Рассмотрим одну из боковых граней-трапеций. Если провести высоту из вершины меньшего основания к большему, образуется прямоугольный треугольник. Гипотенузой этого треугольника будет боковое ребро $l$, одним катетом — высота $h_a$, а вторым катетом — отрезок, равный полуразности оснований трапеции:

$\frac{a_1 - a_2}{2} = \frac{8 - 4}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Применим теорему Пифагора:

$l^2 = h_a^2 + \left(\frac{a_1 - a_2}{2}\right)^2$

$(\sqrt{7})^2 = h_a^2 + 2^2$

$7 = h_a^2 + 4$

$h_a^2 = 7 - 4 = 3$

$h_a = \sqrt{3}$ см.

Теперь можем найти площадь одной трапеции:

$S_{трап} = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h_a = \frac{8 + 4}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{12}{2} \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см².

Так как боковая поверхность состоит из шести таких трапеций, ее общая площадь равна:

$S_{бок} = 6 \cdot S_{трап} = 6 \cdot 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$ см².

3. Нахождение площади полной поверхности

Сложим площади двух оснований и боковой поверхности, чтобы найти площадь полной поверхности усечённой пирамиды:

$S_{полн} = S_{осн1} + S_{осн2} + S_{бок}$

$S_{полн} = 96\sqrt{3} + 24\sqrt{3} + 36\sqrt{3} = (96 + 24 + 36)\sqrt{3} = 156\sqrt{3}$ см².

Ответ: $156\sqrt{3}$ см².

211. Стороны оснований правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равны 10 см и 6 см, а боковое ребро образует с плоскостью большего основания угол $45^\circ$. Найдите площадь диагонального сечения усечённой пирамиды.

Пусть дана правильная усеченная четырехугольная пирамида. Это означает, что ее основаниями являются два квадрата, а боковые грани — равные равнобедренные трапеции.

Обозначим сторону большего основания как $a_1$, а сторону меньшего основания как $a_2$. По условию, $a_1 = 10$ см и $a_2 = 6$ см.

Диагональное сечение этой пирамиды представляет собой равнобедренную трапецию, основаниями которой являются диагонали оснований пирамиды ($d_1$ и $d_2$), а высотой — высота самой усеченной пирамиды ($h$).

Площадь трапеции вычисляется по формуле:
$S_{сеч} = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot h$

1. Найдем диагонали оснований.
Основания — квадраты, поэтому их диагонали находятся по формуле $d = a\sqrt{2}$.
Диагональ большего основания: $d_1 = a_1\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$ см.
Диагональ меньшего основания: $d_2 = a_2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ см.

2. Найдем высоту усеченной пирамиды $h$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды $h$ и проекцией бокового ребра на плоскость большего основания. Угол между боковым ребром и плоскостью большего основания по условию равен $45^\circ$.
Катетами этого треугольника являются высота пирамиды $h$ и разность полудиагоналей оснований.
Длина проекции бокового ребра на плоскость большего основания равна:
$x = \frac{d_1}{2} - \frac{d_2}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} - \frac{6\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ см.
Так как угол наклона бокового ребра равен $45^\circ$, то рассматриваемый прямоугольный треугольник является равнобедренным. Это значит, что его катеты равны:
$h = x = 2\sqrt{2}$ см.

3. Найдем площадь диагонального сечения.
Теперь, зная оба основания ($d_1$, $d_2$) и высоту ($h$) трапеции (диагонального сечения), мы можем вычислить ее площадь:
$S_{сеч} = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot h = \frac{10\sqrt{2} + 6\sqrt{2}}{2} \cdot 2\sqrt{2}$
$S_{сеч} = \frac{16\sqrt{2}}{2} \cdot 2\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 16 \cdot (\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$ см².

Ответ: $32$ см².

212. В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде диагонали оснований равны 10 см и 6 см, а боковая грань образует с плоскостью большего основания угол $60^\circ$. Найдите высоту усечённой пирамиды.

1. Нахождение сторон оснований
В правильной усеченной четырехугольной пирамиде основаниями являются квадраты. Связь между стороной квадрата $a$ и его диагональю $d$ определяется формулой $d = a\sqrt{2}$. Отсюда можно выразить сторону: $a = \frac{d}{\sqrt{2}}$.

Для большего основания с диагональю $d_1 = 10$ см, сторона $a_1$ равна:
$a_1 = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ см.

Для меньшего основания с диагональю $d_2 = 6$ см, сторона $a_2$ равна:
$a_2 = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

2. Построение для нахождения высоты
Угол между боковой гранью и плоскостью большего основания — это двугранный угол. Для нахождения его линейного угла рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через апофемы (высоты боковых граней) и перпендикулярное сторонам оснований.

Пусть $O$ и $O_1$ – центры большего и меньшего оснований, а $H=OO_1$ – высота усеченной пирамиды. Пусть $M$ и $M_1$ – середины соответственных сторон оснований. Отрезки $OM$ и $O_1M_1$ – это апофемы оснований, и их длины равны половине длин сторон соответствующих квадратов: $OM = \frac{a_1}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$ см.
$O_1M_1 = \frac{a_2}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ см.

В сечении образуется прямоугольная трапеция $OMM_1O_1$. Проведем в ней высоту $M_1K$ из точки $M_1$ на отрезок $OM$. Мы получаем прямоугольный треугольник $\triangle M_1KM$, в котором:

• катет $M_1K$ равен высоте пирамиды $H$;
• угол $\angle M_1MK$ — это линейный угол двугранного угла, который по условию равен $60^\circ$;
• катет $MK$ равен разности длин $OM$ и $OK$. Так как $OK = O_1M_1$, то $MK = OM - O_1M_1$.

3. Вычисление высоты пирамиды
Найдем длину катета $MK$:
$MK = OM - O_1M_1 = \frac{5\sqrt{2}}{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ см.

Теперь из прямоугольного треугольника $\triangle M_1KM$ найдем высоту $H = M_1K$, используя определение тангенса угла:
$\tan(\angle M_1MK) = \frac{M_1K}{MK}$
$\tan(60^\circ) = \frac{H}{\sqrt{2}}$
Выразим высоту $H$:
$H = \sqrt{2} \cdot \tan(60^\circ) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$ см.

Ответ: $\sqrt{6}$ см.