Номер 205, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

205. Боковые грани $DAB$ и $DAC$ пирамиды $DABC$ перпендикулярны плоскости основания, $AB = AC = 15$ см, $BC = 18$ см, $DA = 5$ см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей ее боковых граней: $S_{бок} = S_{\triangle DAB} + S_{\triangle DAC} + S_{\triangle DBC}$.

По условию, боковые грани $DAB$ и $DAC$ перпендикулярны плоскости основания $ABC$. Так как эти две плоскости пересекаются по прямой $DA$, то их линия пересечения $DA$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$. Это означает, что $DA$ является высотой пирамиды, а треугольники $DAB$ и $DAC$ являются прямоугольными (с прямыми углами при вершине $A$).

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Найдем площади граней $DAB$ и $DAC$.

$S_{\triangle DAB} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 15 = 37,5$ см².

$S_{\triangle DAC} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 15 = 37,5$ см².

Теперь найдем площадь грани $DBC$. Для этого нам понадобится ее высота, проведенная из вершины $D$ к основанию $BC$.

Рассмотрим треугольник в основании $ABC$. Он равнобедренный, так как $AB = AC = 15$ см. Проведем в нем высоту $AH$ к основанию $BC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому точка $H$ — середина отрезка $BC$.

$HC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ см.

Из прямоугольного треугольника $AHC$ по теореме Пифагора найдем высоту $AH$:

$AH = \sqrt{AC^2 - HC^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$ см.

Теперь применим теорему о трех перпендикулярах. У нас есть перпендикуляр $DA$ к плоскости $ABC$ и наклонная $DH$ к этой плоскости. Прямая $AH$ является проекцией наклонной $DH$ на плоскость $ABC$. Так как проекция $AH$ перпендикулярна прямой $BC$ (по построению), то и сама наклонная $DH$ перпендикулярна прямой $BC$. Следовательно, $DH$ является высотой треугольника $DBC$.

Найдем длину высоты $DH$ из прямоугольного треугольника $DAH$ (угол $DAH = 90^\circ$, так как $DA \perp (ABC)$). По теореме Пифагора:

$DH = \sqrt{DA^2 + AH^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь грани $DBC$:

$S_{\triangle DBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 13 = 9 \cdot 13 = 117$ см².

Наконец, найдем общую площадь боковой поверхности пирамиды, сложив площади трех боковых граней:

$S_{бок} = S_{\triangle DAB} + S_{\triangle DAC} + S_{\triangle DBC} = 37,5 + 37,5 + 117 = 75 + 117 = 192$ см².

Ответ: 192 см².