Номер 209, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

209. Основанием пирамиды $MABCD$ является прямоугольник $ABCD$, в котором $AB = 8$ см, $AD = 2\sqrt{37}$ см. Грань $MAB$ перпендикулярна плоскости основания, а двугранные углы пирамиды при рёбрах $AD$ и $BC$ равны $60^\circ$. Найдите площадь грани $CMD$.

Поскольку основанием пирамиды MABCD является прямоугольник ABCD, то $AB \parallel CD$ и $AD \parallel BC$, а также $AB \perp AD$ и $AB \perp BC$.

По условию, плоскость грани $(MAB)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABCD)$. Линия пересечения этих плоскостей - прямая $AB$.

Рассмотрим двугранный угол при ребре $AD$. Так как $AD \perp AB$ (свойство прямоугольника) и $AB$ является линией пересечения плоскостей $(MAB)$ и $(ABCD)$, то прямая $AD$ перпендикулярна всей плоскости $(MAB)$. Следовательно, $AD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $MA$. Таким образом, $MA \perp AD$.

Линейный угол двугранного угла измеряется углом между двумя перпендикулярами к ребру, проведенными в гранях из одной точки. Так как $MA \perp AD$ и $AB \perp AD$, то угол $\angle MAB$ является линейным углом двугранного угла при ребре $AD$. По условию, его величина равна 60°, то есть $\angle MAB = 60°$.

Аналогично рассмотрим двугранный угол при ребре $BC$. Так как $BC \perp AB$ (свойство прямоугольника), то прямая $BC$ перпендикулярна плоскости $(MAB)$. Следовательно, $BC$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $MB$. Таким образом, $MB \perp BC$.

Линейным углом двугранного угла при ребре $BC$ является угол $\angle MBA$, так как $MB \perp BC$ и $AB \perp BC$. По условию, его величина равна 60°, то есть $\angle MBA = 60°$.

Рассмотрим треугольник $\triangle MAB$. В нем известны два угла: $\angle MAB = 60°$ и $\angle MBA = 60°$. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, $\angle AMB = 180° - 60° - 60° = 60°$. Таким образом, $\triangle MAB$ является равносторонним. Так как $AB = 8$ см, то $MA = MB = 8$ см.

Теперь найдем стороны треугольника $\triangle CMD$.

Сторона $CD$ равна стороне $AB$ прямоугольника $ABCD$, поэтому $CD = 8$ см.

Сторону $MD$ найдем из прямоугольного треугольника $\triangle MAD$ (угол $\angle MAD = 90°$, так как $MA \perp AD$). По теореме Пифагора:

$MD^2 = MA^2 + AD^2 = 8^2 + (2\sqrt{37})^2 = 64 + 4 \cdot 37 = 64 + 148 = 212$.

$MD = \sqrt{212} = \sqrt{4 \cdot 53} = 2\sqrt{53}$ см.

Сторону $CM$ найдем из прямоугольного треугольника $\triangle MBC$ (угол $\angle MBC = 90°$, так как $MB \perp BC$). Сторона $BC = AD = 2\sqrt{37}$ см. По теореме Пифагора:

$CM^2 = MB^2 + BC^2 = 8^2 + (2\sqrt{37})^2 = 64 + 4 \cdot 37 = 64 + 148 = 212$.

$CM = \sqrt{212} = \sqrt{4 \cdot 53} = 2\sqrt{53}$ см.

Треугольник $\triangle CMD$ является равнобедренным, так как $CM=MD=2\sqrt{53}$ см. Основание $CD = 8$ см. Найдем его площадь. Проведем высоту $MK$ к основанию $CD$. В равнобедренном треугольнике высота является и медианой, поэтому $K$ - середина $CD$, и $CK = \frac{1}{2}CD = 4$ см.

Из прямоугольного треугольника $\triangle MKC$ по теореме Пифагора найдем высоту $MK$:

$MK^2 = CM^2 - CK^2 = (2\sqrt{53})^2 - 4^2 = 212 - 16 = 196$.

$MK = \sqrt{196} = 14$ см.

Площадь треугольника $\triangle CMD$ равна:

$S_{CMD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 14 = 56$ см².

Ответ: $56$ см².