gdz.top
Номер 213, страница 32 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-360-09769-3
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения. Вариант 1. Усечённая пирамида - номер 213, страница 32.
№212
№213 (с. 32)
Условие. №213 (с. 32)
213. В правильной усечённой треугольной пирамиде стороны оснований равны 18 см и 36 см, а её высота — 3 см. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.
Решение. №213 (с. 32)
Решение 2. №213 (с. 32)
Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды вычисляется по формуле $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot h_a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).
В основаниях лежат правильные треугольники со сторонами $a_1 = 36$ см и $a_2 = 18$ см. Сначала найдём их периметры:
Периметр нижнего основания: $P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 36 = 108$ см.
Периметр верхнего основания: $P_2 = 3 \cdot a_2 = 3 \cdot 18 = 54$ см.
Далее необходимо найти апофему усечённой пирамиды $h_a$. Для этого рассмотрим осевое сечение, проходящее через апофемы оснований. В этом сечении образуется прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота усечённой пирамиды $H$ и разность радиусов окружностей, вписанных в основания ($r_1 - r_2$), а гипотенузой — апофема $h_a$. Таким образом, по теореме Пифагора: $h_a^2 = H^2 + (r_1 - r_2)^2$.
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.
Вычислим радиусы для оснований:
Радиус вписанной окружности нижнего основания: $r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{36}{2\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}$ см.
Радиус вписанной окружности верхнего основания: $r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$ см.
Теперь найдём апофему $h_a$, используя высоту пирамиды $H = 3$ см:
$h_a = \sqrt{H^2 + (r_1 - r_2)^2} = \sqrt{3^2 + (6\sqrt{3} - 3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6$ см.
Наконец, подставим все найденные значения в формулу для площади боковой поверхности:
$S_{бок} = \frac{1}{2}(108 + 54) \cdot 6 = \frac{1}{2} \cdot 162 \cdot 6 = 81 \cdot 6 = 486$ см2.
Ответ: 486 см2.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 213 расположенного на странице 32 к дидактическим материалам 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №213 (с. 32), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.