Номер 207, страница 31 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

207. Основанием пирамиды является квадрат. Две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а каждая из двух других образует с ней угол $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если её наименьшее боковое ребро равно 4 см.

Пусть дана пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадрат в основании, а $S$ — вершина.

1. Анализ условия и построение

По условию, две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Пусть это будут грани $(SAB)$ и $(SAD)$. Если две плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения также перпендикулярна этой плоскости. Линией пересечения граней $(SAB)$ и $(SAD)$ является боковое ребро $SA$. Следовательно, ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания $(ABCD)$, то есть $SA$ является высотой пирамиды.

Из того, что $SA \perp (ABCD)$, следует, что $SA \perp AB$ и $SA \perp AD$. Значит, треугольники $\triangle SAB$ и $\triangle SAD$ являются прямоугольными (с прямым углом при вершине $A$).

Две другие боковые грани, $(SBC)$ и $(SCD)$, образуют с плоскостью основания угол $30^\circ$. Угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания — это линейный угол двугранного угла.
Рассмотрим грань $(SBC)$. Линия пересечения с основанием — $BC$. Так как $ABCD$ — квадрат, то $AB \perp BC$. $AB$ является проекцией наклонной $SB$ на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах, так как проекция $AB$ перпендикулярна прямой $BC$ в плоскости, то и сама наклонная $SB$ перпендикулярна $BC$. Значит, $\triangle SBC$ — прямоугольный с $\angle SBC = 90^\circ$.
Угол между плоскостями $(SBC)$ и $(ABCD)$ — это угол между перпендикулярами к их общей прямой $BC$. Такими перпендикулярами являются $AB$ и $SB$. Следовательно, $\angle SBA = 30^\circ$.
Аналогично для грани $(SCD)$: $AD \perp CD$, $AD$ — проекция $SD$, значит $SD \perp CD$. $\triangle SCD$ — прямоугольный с $\angle SDC = 90^\circ$. Угол между плоскостями $(SCD)$ и $(ABCD)$ равен $\angle SDA = 30^\circ$.

2. Нахождение стороны основания

Найдем длины боковых ребер. Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$.
Из прямоугольного $\triangle SAB$:
$SA = AB \cdot \tan(\angle SBA) = a \cdot \tan(30^\circ) = a \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
$SB = \frac{AB}{\cos(\angle SBA)} = \frac{a}{\cos(30^\circ)} = \frac{a}{\sqrt{3}/2} = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.
Так как $\triangle SAB \cong \triangle SAD$ (по двум катетам $SA$ и $AB=AD$), то $SD = SB = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.
Ребро $SC$ найдем из прямоугольного $\triangle SBC$ по теореме Пифагора:
$SC^2 = SB^2 + BC^2 = (\frac{2a}{\sqrt{3}})^2 + a^2 = \frac{4a^2}{3} + a^2 = \frac{7a^2}{3}$.
$SC = \sqrt{\frac{7a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$.

Сравним длины боковых ребер: $SA = \frac{a}{\sqrt{3}}$, $SB = SD = \frac{2a}{\sqrt{3}}$, $SC = \frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$.
Так как $1 < 2 < \sqrt{7}$, наименьшим боковым ребром является $SA$.
По условию, наименьшее боковое ребро равно 4 см, следовательно, $SA = 4$ см.

Теперь найдем сторону основания $a$:
$SA = \frac{a}{\sqrt{3}} \Rightarrow 4 = \frac{a}{\sqrt{3}} \Rightarrow a = 4\sqrt{3}$ см.

3. Вычисление площади боковой поверхности

Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ равна сумме площадей четырех боковых граней:
$S_{бок} = S_{\triangle SAB} + S_{\triangle SAD} + S_{\triangle SBC} + S_{\triangle SCD}$.

Площадь $\triangle SAB$:
$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot SA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см$^2$.
Так как $\triangle SAD \cong \triangle SAB$, то $S_{\triangle SAD} = 8\sqrt{3}$ см$^2$.

Для нахождения площадей $\triangle SBC$ и $\triangle SCD$ нам понадобится длина ребра $SB$.
$SB = \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8$ см.
Площадь прямоугольного $\triangle SBC$:
$S_{\triangle SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SB = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 8 = 16\sqrt{3}$ см$^2$.
Так как $\triangle SCD \cong \triangle SBC$, то $S_{\triangle SCD} = 16\sqrt{3}$ см$^2$.

Суммируем площади всех граней:
$S_{бок} = 8\sqrt{3} + 8\sqrt{3} + 16\sqrt{3} + 16\sqrt{3} = (16+32)\sqrt{3} = 48\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $48\sqrt{3}$ см$^2$.