Номер 202, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

202. Основанием пирамиды является ромб, меньшая диагональ которого равна 4 см, а острый угол — $60^\circ$. Каждый двугранный угол пирамиды при ребре основания равен $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть основанием пирамиды является ромб $ABCD$ с острым углом $\angle A = 60^\circ$. Меньшая диагональ ромба $BD$ лежит против острого угла и делит ромб на два равносторонних треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

Поскольку меньшая диагональ равна 4 см, то есть $BD = 4$ см, то и стороны этих равносторонних треугольников равны 4 см. Следовательно, сторона ромба $a$ также равна 4 см ($a = AB = BC = CD = DA = 4$ см).

Условие о том, что все двугранные углы при ребрах основания равны, означает, что вершина пирамиды $S$ проецируется в центр вписанной в основание окружности. Обозначим этот центр как $O$. Расстояние от центра $O$ до любой стороны ромба равно радиусу вписанной окружности $r$.

Найдем радиус вписанной окружности $r$. Сначала вычислим высоту ромба $h$:$h = a \cdot \sin(60^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.Радиус вписанной в ромб окружности равен половине его высоты:$r = \frac{h}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

Двугранный угол при ребре основания — это угол между боковой гранью и плоскостью основания. Проведем апофему $SK$ (высоту боковой грани $SAB$) к стороне основания $AB$. Отрезок $OK$ соединяет центр вписанной окружности с точкой касания $K$, поэтому $OK \perp AB$ и $OK = r = \sqrt{3}$ см. Угол $\angle SKO$ является линейным углом двугранного угла при ребре $AB$, и по условию он равен $45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOK$, где $SO$ — высота пирамиды, $OK$ — радиус вписанной окружности, а $SK$ — апофема. В этом треугольнике:$\cos(\angle SKO) = \frac{OK}{SK}$Отсюда найдем апофему $SK$:$SK = \frac{OK}{\cos(45^\circ)} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = \sqrt{6}$ см.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей четырех одинаковых боковых граней (грани равны, так как стороны основания равны и апофемы равны).Площадь одной боковой грани $\triangle SAB$:$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$ см$^2$.

Тогда площадь всей боковой поверхности:$S_{бок} = 4 \cdot S_{\triangle SAB} = 4 \cdot 2\sqrt{6} = 8\sqrt{6}$ см$^2$.

Ответ: $8\sqrt{6}$ см$^2$.