Номер 199, страница 30 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

199. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если её высота равна 4 см, а боковые рёбра равны.

Пусть дана пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — прямоугольник со сторонами $AB=8$ см и $BC=6$ см. Высота пирамиды $SO = h = 4$ см. Так как боковые ребра пирамиды равны ($SA=SB=SC=SD$), то вершина $S$ проецируется в центр описанной около основания окружности. Для прямоугольника таким центром является точка пересечения его диагоналей $O$.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей четырех боковых граней. Грани являются попарно равными равнобедренными треугольниками: $\triangle SAB = \triangle SCD$ и $\triangle SBC = \triangle SDA$.

Таким образом, формула для площади боковой поверхности:

$S_{бок} = 2 \cdot S_{\triangle SAB} + 2 \cdot S_{\triangle SBC}$

Для нахождения площадей этих треугольников нужно найти их высоты, проведенные из вершины $S$ (апофемы).

1. Найдем апофему $SK$ для грани $SAB$.

Проведем высоту $SK$ в треугольнике $SAB$. $K$ — середина стороны $AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOK$. В нем катет $SO$ — это высота пирамиды, $SO=4$ см. Катет $OK$ — это расстояние от центра прямоугольника до стороны $AB$. Оно равно половине длины стороны $BC$.

$OK = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $SK$ (апофему):

$SK = \sqrt{SO^2 + OK^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь найдем площадь двух граней $SAB$ и $SCD$:

$2 \cdot S_{\triangle SAB} = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot AB \cdot SK\right) = AB \cdot SK = 8 \cdot 5 = 40$ см².

2. Найдем апофему $SL$ для грани $SBC$.

Проведем высоту $SL$ в треугольнике $SBC$. $L$ — середина стороны $BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOL$. В нем катет $SO = 4$ см. Катет $OL$ — это расстояние от центра прямоугольника до стороны $BC$. Оно равно половине длины стороны $AB$.

$OL = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $SL$ (апофему):

$SL = \sqrt{SO^2 + OL^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем площадь двух граней $SBC$ и $SDA$:

$2 \cdot S_{\triangle SBC} = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot BC \cdot SL\right) = BC \cdot SL = 6 \cdot 4\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$ см².

3. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.

Сложим площади всех боковых граней:

$S_{бок} = 2 \cdot S_{\triangle SAB} + 2 \cdot S_{\triangle SBC} = 40 + 24\sqrt{2}$ см².

Ответ: $40 + 24\sqrt{2}$ см².