Номер 194, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

194. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро образует с плоскостью основания угол $\alpha$, а расстояние от основания высоты пирамиды до бокового ребра равно $b$. Найдите рёбра пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и основанием $ABCD$. Поскольку пирамида правильная, ее основанием является квадрат, а высота $SO$ проецируется в центр основания $O$ (точку пересечения диагоналей).

Обозначим сторону основания (ребро основания) как $a$, а боковое ребро как $L$.

Угол, который боковое ребро (например, $SC$) образует с плоскостью основания, — это угол между самим ребром и его проекцией на эту плоскость. Проекцией ребра $SC$ на плоскость основания $ABCD$ является отрезок $OC$. Таким образом, по условию задачи, угол $\angle SCO = \alpha$.

Треугольник $\triangle SOC$ является прямоугольным, так как высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе $OC$.

Расстояние от основания высоты (точки $O$) до бокового ребра ($SC$) — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $SC$. Обозначим основание этого перпендикуляра как $K$. Таким образом, $OK \perp SC$ и, по условию, $OK = b$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OKC$ (прямой угол при вершине $K$, так как $OK \perp SC$). В этом треугольнике нам известны катет $OK = b$ и противолежащий ему угол $\angle OCK = \alpha$. Гипотенузой является отрезок $OC$.

Из соотношения в прямоугольном треугольнике $\triangle OKC$ имеем:

$\sin \alpha = \frac{OK}{OC} = \frac{b}{OC}$

Отсюда мы можем выразить длину отрезка $OC$:

$OC = \frac{b}{\sin \alpha}$

Теперь, зная длину $OC$, мы можем найти ребра пирамиды.

Ребро основания

Отрезок $OC$ — это половина диагонали $AC$ квадрата $ABCD$. Диагональ квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле $AC = a\sqrt{2}$. Следовательно,

$OC = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$

Приравняем два полученных выражения для $OC$:

$\frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{b}{\sin \alpha}$

Выразим отсюда длину ребра основания $a$:

$a = \frac{2b}{\sqrt{2}\sin \alpha} = \frac{\sqrt{2}b}{\sin \alpha}$

Боковое ребро

Вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle SOC$. В нем $SC = L$ — гипотенуза, $OC$ — катет, прилежащий к углу $\alpha$. Из определения косинуса:

$\cos \alpha = \frac{OC}{SC} = \frac{OC}{L}$

Выразим отсюда длину бокового ребра $L$:

$L = \frac{OC}{\cos \alpha}$

Подставим ранее найденное выражение для $OC = \frac{b}{\sin \alpha}$:

$L = \frac{\frac{b}{\sin \alpha}}{\cos \alpha} = \frac{b}{\sin \alpha \cos \alpha}$

Это выражение можно упростить, используя формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha$:

$L = \frac{2b}{2\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{2b}{\sin(2\alpha)}$

Ответ: ребро основания пирамиды равно $\frac{\sqrt{2}b}{\sin \alpha}$, а боковое ребро равно $\frac{b}{\sin \alpha \cos \alpha}$ (или $\frac{2b}{\sin(2\alpha)}$).