Номер 190, страница 29 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

190. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 8 см и образует с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник $ABC$. Боковое ребро $SA = SB = SC = 8$ см. Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между ребром $SA$ и его проекцией на плоскость основания $ABC$. Проекцией вершины $S$ на плоскость основания является центр треугольника $ABC$, точка $O$. Следовательно, проекцией ребра $SA$ является отрезок $OA$, а искомый угол — это $\angle SAO = 30^\circ$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SOA$ (где $\angle SOA = 90^\circ$). Катет $OA$ является радиусом $R$ окружности, описанной около основания $ABC$. Гипотенуза $SA$ — это боковое ребро, $SA = 8$ см.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике найдем радиус $R$:

$R = OA = SA \cdot \cos(\angle SAO) = 8 \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

2. Зная радиус описанной окружности для равностороннего треугольника, найдем его сторону $a$. Формула, связывающая сторону равностороннего треугольника $a$ и радиус описанной окружности $R$, имеет вид $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Отсюда $a = R\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot 3 = 12$ см.

3. Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей трех одинаковых боковых граней, которые являются равнобедренными треугольниками с боковыми сторонами по 8 см и основанием 12 см. Найдем площадь одной такой грани, например, $\triangle SAB$.

Проведем в треугольнике $SAB$ высоту (апофему пирамиды) $SK$ к основанию $AB$. Так как $\triangle SAB$ равнобедренный, $SK$ является также медианой, поэтому $AK = KB = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SKA$. По теореме Пифагора найдем апофему $SK$:

$SK^2 = SA^2 - AK^2$

$SK^2 = 8^2 - 6^2 = 64 - 36 = 28$

$SK = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$ см.

4. Теперь найдем площадь треугольника $SAB$:

$S_{\triangle SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 2\sqrt{7} = 12\sqrt{7}$ см$^2$.

5. Площадь боковой поверхности пирамиды равна утроенной площади одной грани:

$S_{бок} = 3 \cdot S_{\triangle SAB} = 3 \cdot 12\sqrt{7} = 36\sqrt{7}$ см$^2$.

Ответ: $36\sqrt{7}$ см$^2$.